Encontre a concentração do íon hidrônio em uma solução de \mathrm{NaH}_{2} \mathrm{PO}_{4} 0,0100 \mathrm{~mol} \mathrm{L}^{-1}. As duas constantes de dissociação de importância (aquelas que contêm \left[\mathrm{H}_{2} \mathrm{PO}_{4}{ }^{-}\right]) são \mathrm{K}_{\mathrm{a} 1}=7,11 \times 10^{-3} \mathrm{e} \mathrm{K}_{\mathrm{a} 2}=6,32 \times 10^{-8}.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a concentração do íon hidrônio numa solução de \mathrm{NaH_{2}PO_{4}} com concentração inicial 0,0100\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. As informações fornecidas são:
\mathrm{K_{a1}} = 7,11\times10^{-3},\qquad \mathrm{K_{a2}} = 6,32\times10^{-8},
e a espécie presente em solução, após a dissociação do sal, é o ânion \mathrm{H_{2}PO_{4}^{-}} com concentração inicial c=0,0100\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
A pergunta específica: calcular [ \mathrm{H_{3}O^{+}} ] (concentração do íon hidrônio) nessa solução.

Passo 2

Entendendo o que acontece quimicamente (explicação didática e informal):
  • O sal \mathrm{NaH_{2}PO_{4}} é fortemente iônico; ao dissolver-se ele fornece \mathrm{Na^{+}} e \mathrm{H_{2}PO_{4}^{-}}. Então a espécie que determina o pH é \mathrm{H_{2}PO_{4}^{-}}.
  • Aí vem a parte importante: \mathrm{H_{2}PO_{4}^{-}} é uma espécie anfiprótica — isto é, pode agir tanto como ácido (doando um próton, formando \mathrm{HPO_{4}^{2-}}) quanto como base (aceitando um próton, formando \mathrm{H_{3}PO_{4}}). Por isso ambas as constantes fornecidas são relevantes: \mathrm{K_{a1}} (relacionada a \mathrm{H_{3}PO_{4}\rightleftharpoons H^{+}+H_{2}PO_{4}^{-}}) e \mathrm{K_{a2}} (relacionada a \mathrm{H_{2}PO_{4}^{-}\rightleftharpoons H^{+}+HPO_{4}^{2-}}).
  • Para muitos sais anfipróticos (como \mathrm{H_{2}PO_{4}^{-}}), existe uma fórmula prática que dá o pH (e portanto [ \mathrm{H_{3}O^{+}} ]) em função de \mathrm{pK_{a1}} e \mathrm{pK_{a2}}. Vou explicar e usar essa fórmula porque é a mais direta na prova.

Passo 3

Derivação curta e intuitiva da fórmula usada (aulasinha básica):
  • Escrevendo as duas dissociações relevantes: \mathrm{H_{3}PO_{4} \rightleftharpoons H^{+} + H_{2}PO_{4}^{-}}\qquad(\mathrm{K_{a1}})
\mathrm{H_{2}PO_{4}^{-} \rightleftharpoons H^{+} + HPO_{4}^{2-}}\qquad(\mathrm{K_{a2}})
  • Das expressões de equilíbrio: \mathrm{K_{a1}}=\frac{[H^{+}][H_{2}PO_{4}^{-}]}{[H_{3}PO_{4}]}, \qquad \mathrm{K_{a2}}=\frac{[H^{+}][HPO_{4}^{2-}]}{[H_{2}PO_{4}^{-}]}.
  • Multiplicando as duas: \mathrm{K_{a1}K_{a2}}=\frac{[H^{+}]^{2}[HPO_{4}^{2-}]}{[H_{3}PO_{4}]}.
  • Num sistema onde a única fonte de prótons/pares ácido-base é o anfíproto \mathrm{H_{2}PO_{4}^{-}} (isto é, sem adicionar ácido forte nem base forte) e para concentrações típicas de sal (não absurdamente baixas), as concentrações de \mathrm{H_{3}PO_{4}} e de \mathrm{HPO_{4}^{2-}} tendem a ser comparáveis em ordem de grandeza; sob essa condição (a que se usa para a fórmula prática) podemos aproximar [H_{3}PO_{4}]\approx[HPO_{4}^{2-}]. Assim a fração [HPO_{4}^{2-}]/[H_{3}PO_{4}] aproxima-se de 1 e obtemos \mathrm{K_{a1}K_{a2}}\approx [H^{+}]^{2}.
  • Tomando raiz quadrada: [H^{+}]\approx\sqrt{\mathrm{K_{a1}K_{a2}}}.
  • Em termos de pH, isso é equivalente àquela fórmula clássica para anfiprótos: \mathrm{pH}\approx\tfrac{1}{2}(\mathrm{p}K_{a1}+\mathrm{p}K_{a2}).
Observação: fiz a derivação de modo leve e didático — em provas é aceitável usar essa abordagem para sais anfipróticos. Depois eu confirmo que a aproximação é consistente numérica (checagem).

Passo 4

Cálculo numérico seguindo a fórmula:
  • Primeiro calculo o produto das constantes: \mathrm{K_{a1}K_{a2}} = (7,11\times10^{-3})\times(6,32\times10^{-8}).
\mathrm{K_{a1}K_{a2}} = 4,492\ldots\times10^{-10}.
  • Agora tomo a raiz quadrada para obter [H^{+}]: [H^{+}]=\sqrt{4,492\times10^{-10}}=2,119\ldots\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Arredondando com algarismos significativos compatíveis com os dados (concentração dada com quatro algarismos significativos mas constantes com três algarismos significativos), eu apresento [H^{+}]=2,12\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 5

Checagem rápida das aproximações (para me certificar que não errei ao desprezar [\mathrm{OH^{-}}] e similares):
  • Comparo [H^{+}] com a concentração inicial c: \frac{[H^{+}]}{c}=\frac{2,12\times10^{-5}}{1,00\times10^{-2}}=2,12\times10^{-3}\ll1,portanto as aproximações usadas são perfeitamente razoáveis (a presença de [H^{+}] é pequena comparada a c, e a autoionização da água [10^{-7}] é muito menor que [H^{+}] aqui, então desprezar [OH^{-}] foi ok).
  • O pH correspondente seria aproximadamente \mathrm{pH}=-\log(2,12\times10^{-5})\approx4,67,o que confirma que a solução é ácida (esperado para \mathrm{H_{2}PO_{4}^{-}}).

Resposta

[\mathrm{H_{3}O^{+}}] = 2,12\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

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