Calcular as concentrações das espécies \mathrm{Cu}^{2+}, \mathrm{Cu}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)^{2+}, \mathrm{Cu}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}{ }^{2+}, \mathrm{Cu}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{3} { }^{2+}, \mathrm{Cu}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{4}{ }^{2+} para um sistema \mathrm{Cu}^{2+}-\mathrm{NH}_{3} com a concentração analítica de \mathrm{Cu}^{2+} igual a 0,01 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} \mathrm{e} a concentração de equilíbrio de \mathrm{NH}_{3} igual a 0,1 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}. Dados: \log \mathrm{K}_{\mathrm{f} 1}=4,11, \log \mathrm{~K}_{\mathrm{f} 2}=3,50, \log \mathrm{~K}_{\mathrm{f} 3}=2,90 e \log \mathrm{K}_{\mathrm{f} 4}=2,11.

Passo 1

O enunciado pede as concentrações de todas as espécies de cobre num sistema Cu²⁺–NH₃ sabendo que a concentração analítica de cobre é [\mathrm{Cu}]_T=0,01,mol L⁻¹ e que em equilíbrio [\mathrm{NH}_3]=0,1,mol L⁻¹. Vamos usar constantes de formação passo a passo (K_fi) para escrever cada concentração como
[\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)_i^{2+}] \;=\;\beta_i\,[\mathrm{Cu}^{2+}]\,[\mathrm{NH}_3]^i
e a conservação de massa do cobre:
[\mathrm{Cu}]_T \;=\;\sum_{i=0}^{4}[\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)_i^{2+}].

Passo 2

Calculamos as constantes de estabilidade cumulativas \beta_i a partir dos logaritmos dados:
\beta_1 =10^{4,11}\approx1,288\times10^4,\quad \beta_2 =10^{4,11+3,50}=10^{7,61}\approx4,074\times10^7,
\beta_3 =10^{4,11+3,50+2,90}=10^{10,51}\approx3,236\times10^{10},\quad \beta_4 =10^{4,11+3,50+2,90+2,11}=10^{12,62}\approx4,169\times10^{12}.

Passo 3

A conservação de massa do cobre dá
[\mathrm{Cu}]_T =[\mathrm{Cu}^{2+}]\bigl(1+\beta_1[\mathrm{NH}_3]+\beta_2[\mathrm{NH}_3]^2+\beta_3[\mathrm{NH}_3]^3+\beta_4[\mathrm{NH}_3]^4\bigr).
Chamando de S o parêntese, temos
S =1+\beta_1\,(0,1)+\beta_2\,(0,1)^2+\beta_3\,(0,1)^3+\beta_4\,(0,1)^4.

Passo 4

Calculando cada termo em S:
\beta_1(0,1)=1,288\times10^3,\quad \beta_2(0,1)^2=4,074\times10^5,\quad \beta_3(0,1)^3=3,236\times10^7,\quad \beta_4(0,1)^4=4,169\times10^8.
Logo
S\approx1+1,288\times10^3+4,074\times10^5+3,236\times10^7+4,169\times10^8 \approx4,496\times10^8.
Então
[\mathrm{Cu}^{2+}] =\frac{[\mathrm{Cu}]_T}{S} =\frac{0,01}{4,496\times10^8} \approx2,22\times10^{-11}\text{ mol L}^{-1}.

Passo 5

Usamos agora
[\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)_i^{2+}] =\beta_i\,[\mathrm{Cu}^{2+}]\,[\mathrm{NH}_3]^i
para i=1,2,3,4 com [\mathrm{NH}_3]=0,1 e [\mathrm{Cu}^{2+}]=2,22\times10^{-11}.

Passo 6

Calculando numericamente:
[\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)^{2+}] =1,288\times10^4\;\times2,22\times10^{-11}\;\times0,1 \approx2,86\times10^{-8},
[\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)_2^{2+}] =4,074\times10^7\;\times2,22\times10^{-11}\;\times0,1^2 \approx9,06\times10^{-6},
[\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)_3^{2+}] =3,236\times10^{10}\;\times2,22\times10^{-11}\;\times0,1^3 \approx7,20\times10^{-4},
[\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)_4^{2+}] =4,169\times10^{12}\;\times2,22\times10^{-11}\;\times0,1^4 \approx9,27\times10^{-3}.

Resposta

[\mathrm{Cu}^{2+}] = 2,22×10^{-11} mol L^{-1}
[\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)^{2+}] = 2,86×10^{-8} mol L^{-1}
[\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)_2^{2+}] = 9,06×10^{-6} mol L^{-1}
[\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)_3^{2+}] = 7,20×10^{-4} mol L^{-1}
[\mathrm{Cu}(\mathrm{NH}_3)_4^{2+}] = 9,27×10^{-3} mol L^{-1}

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