b) Calcular as coordenadas do centro de gravidade da figura limitada pelas parábolas
e
.
Resp.
Resp.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar as coordenadas do centro de gravidade de uma figura limitada por duas parábolas: $ y^{2} = 4x + 4 $ e $ y^{2} = -2x + 4 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre cálculo de áreas e centros de massa de regiões planas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas duas parábolas se comportam no plano. A equação geral de uma parábola é $ y^{2} = 4ax $, onde $ a $ determina a abertura da parábola. No nosso caso:
- Para $ y^{2} = 4x + 4 $, podemos reescrever como $ y^{2} = 4(x + 1) $. Isso significa que a parábola está deslocada 1 unidade para a esquerda em relação à origem.
- Para $ y^{2} = -2x + 4 $, reescrevendo fica $ y^{2} = -2(x - 2) $. Aqui, a parábola está deslocada 2 unidades para a direita.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas parábolas. Isso nos dará os limites de integração para calcular a área e as coordenadas do centro de gravidade.
Igualando as duas equações:
Resolvendo para $ x $:
Agora, substituímos $ x = 0 $ em uma das equações para encontrar $ y $:
Portanto, os pontos de interseção são $ (0, 2) $ e $ (0, -2) $.
Passo 4
Para encontrar o centro de gravidade $ C(\bar{x}, \bar{y}) $, usamos as fórmulas:
Por simetria, como a figura é simétrica em relação ao eixo $ x $, sabemos que $ \bar{y} = 0 $. Então, precisamos apenas calcular $ \bar{x} $.
Passo 5
Vamos calcular a área $ A $ da região limitada pelas duas parábolas. Podemos parametrizar a área integrando em $ y $, já que as equações estão em termos de $ y $.
A área $ A $ é dada por:
Onde:
- $ x_{direita} $ vem da parábola $ y^{2} = -2x + 4 $ $\Rightarrow x = \frac{4 - y^{2}}{2} $
- $ x_{esquerda} $ vem da parábola $ y^{2} = 4x + 4 $ $\Rightarrow x = \frac{y^{2} - 4}{4} $
Então:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a área fica:
Passo 7
Calculando a integral:
Avaliada de $ -2 $ a $ 2 $:
Então, a área é:
Passo 8
Agora, vamos calcular $ \bar{x} $:
Como estamos integrando em $ y $, podemos expressar $ x $ como a média das duas funções $ x_{direita} $ e $ x_{esquerda} $:
Simplificando:
Então:
Passo 9
Calculando a integral $ \int (4 - y{2}){2} dy $:
Avaliada de $ -2 $ a $ 2 $:
Passo 10
Voltando a $ \bar{x} $:
Resposta
O centro de gravidade da figura é $ C\left(\frac{2}{5} ; 0\right) $.