b) Calcular as coordenadas do centro de gravidade da figura limitada pelas parábolas y^2=4 x+4 e y^2=-2 x+4.
Resp. C(25 ; 0)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar as coordenadas do centro de gravidade de uma figura limitada por duas parábolas: $ y^{2} = 4x + 4 $ e $ y^{2} = -2x + 4 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre cálculo de áreas e centros de massa de regiões planas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas duas parábolas se comportam no plano. A equação geral de uma parábola é $ y^{2} = 4ax $, onde $ a $ determina a abertura da parábola. No nosso caso:
  • Para $ y^{2} = 4x + 4 $, podemos reescrever como $ y^{2} = 4(x + 1) $. Isso significa que a parábola está deslocada 1 unidade para a esquerda em relação à origem.
  • Para $ y^{2} = -2x + 4 $, reescrevendo fica $ y^{2} = -2(x - 2) $. Aqui, a parábola está deslocada 2 unidades para a direita.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas parábolas. Isso nos dará os limites de integração para calcular a área e as coordenadas do centro de gravidade.
Igualando as duas equações:
4x + 4 = -2x + 4
Resolvendo para $ x $:
x
4x + 2x = 4 - 4
6x = 0
Agora, substituímos $ x = 0 $ em uma das equações para encontrar $ y $:
x = 0
x = 0
y
Portanto, os pontos de interseção são $ (0, 2) $ e $ (0, -2) $.

Passo 4

Para encontrar o centro de gravidade $ C(\bar{x}, \bar{y}) $, usamos as fórmulas:
C(barx, bary)
barx = 1A integral x , dA
Por simetria, como a figura é simétrica em relação ao eixo $ x $, sabemos que $ \bar{y} = 0 $. Então, precisamos apenas calcular $ \bar{x} $.

Passo 5

Vamos calcular a área $ A $ da região limitada pelas duas parábolas. Podemos parametrizar a área integrando em $ y $, já que as equações estão em termos de $ y $.
A área $ A $ é dada por:
A
Onde:
  • $ x_{direita} $ vem da parábola $ y^{2} = -2x + 4 $ $\Rightarrow x = \frac{4 - y^{2}}{2} $
  • $ x_{esquerda} $ vem da parábola $ y^{2} = 4x + 4 $ $\Rightarrow x = \frac{y^{2} - 4}{4} $
Então:
y

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
4 - y^22 - y^2 - 44 = 2(4 - y^2) - (y^2 - 4)4 = 8 - 2y^2 - y^2 + 44 = 12 - 3y^24 = 3(4 - y^2)4
Então, a área fica:
A = integral-2^2 3(4 - y^2)4 dy = 34 integral-2^2 (4 - y^2) dy

Passo 7

Calculando a integral:
integral (4 - y^2) dy = 4y - y^33
Avaliada de $ -2 $ a $ 2 $:
-2
2
[ 4(2) - (2)^33 ] - [ 4(-2) - (-2)^33 ] = ( 8 - 83 ) - ( -8 - -83 )
Então, a área é:
= ( 24 - 83 ) - ( -24 + 83 )

Passo 8

Agora, vamos calcular $ \bar{x} $:
barx
Como estamos integrando em $ y $, podemos expressar $ x $ como a média das duas funções $ x_{direita} $ e $ x_{esquerda} $:
barx = 1A integral x , dA
Simplificando:
y
Então:
x
xdireita

Passo 9

Calculando a integral $ \int (4 - y{2}){2} dy $:
integral (4 - y^2)^2 dy
(4 - y^2)^2 = 16 - 8y^2 + y^4
Avaliada de $ -2 $ a $ 2 $:
integral (16 - 8y^2 + y^4) dy = 16y - 8y^33 + y^55
-2
2
[ 16(2) - 8(2)^33 + (2)^55 ] - [ 16(-2) - 8(-2)^33 + (-2)^55 ]

Passo 10

Voltando a $ \bar{x} $:
barx

Resposta

O centro de gravidade da figura é $ C\left(\frac{2}{5} ; 0\right) $.

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