Calcular as coordenadas retangulares absolutas dos vértices da poligonal fechada, levantada topograficamente pelo método do caminhamento, cujos elementos de campo são os seguintes:
\mathrm{Az} z \overline{\mathrm{AB}}=135^{\circ} 30^{\prime}; \mathrm{d}_{\overline{\mathrm{BC}}}=16^{\circ} 30^{\prime} \mathrm{E} ; \mathrm{d}_{\overline{\mathrm{CD}}}=122^{\circ} 46^{\prime} \mathrm{D};
\mathrm{d}_{\overline{\mathrm{DE}}}=124^{\circ} 31^{\prime} \mathrm{D}; \mathrm{d} \overline{\mathrm{EF}}=121^{\circ} 20^{\prime} \mathrm{E}; \mathrm{d} \overline{\mathrm{FA}}=146^{\circ} 30^{\prime} \mathrm{D};
\mathrm{d} \overline{\mathrm{AB}}=104^{\circ} 00 \mathrm{D}; \overline{\mathrm{AB}}=26,00 \mathrm{~m}; \mathrm{BC}=36,10 \mathrm{~m};
CD = 50,00 m; \mathrm{DE}=32,30 \mathrm{~m}; \mathrm{EF}=41,00 \mathrm{~m};
\mathrm{FA}=52,50 \mathrm{~m};
As coordenadas retangulares do vértice A valem:
\mathrm{X}_{\mathrm{A}}=10.000,00 \mathrm{~m} \text { e } \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=15.000,00 \mathrm{~m} .

Passo 1

O enunciado dá um polígono fechado A\!-\!B\!-\!C\!-\!D\!-\!E\!-\!F\!-\!A levantado por caminhamento. Temos a azimute inicial de \overline{AB}, uma série de ângulos de deflexão (para a direita “E” ou para a esquerda “D”) e os comprimentos de cada lado. As coordenadas de A são conhecidas:
X_A=10\,000,00\;\mathrm m,\qquad Y_A=15\,000,00\;\mathrm m.
O que precisamos fazer é:
  1. Calcular os azimutes absolutos de cada lado a partir da azimute de \overline{AB} e dos ângulos de deflexão;
  2. Usar as fórmulas
\Delta X = L\sin Az,\qquad \Delta Y = L\cos Az
para obter os deslocamentos em X e Y de cada perna;
3. Somar esses deslocamentos às coordenadas de A para obter as coordenadas dos vértices B,C,D,E,F;
4. Verificar o desvio de fechamento.

Passo 2

Cálculo dos azimutes de cada perna. Vamos numerar as deflexões na ordem do caminhamento A\to B\to C\to D\to E\to F\to A:
Az_{AB}=135^\circ30'\,.
Para cada deflexão d com indicação E (direita) somamos, e com indicação D (esquerda) subtraímos:
\begin{aligned} Az_{BC}&=Az_{AB}+d_{BC}=135^\circ30'+16^\circ30'\;E=152^\circ00',\\\ Az_{CD}&=Az_{BC}-d_{CD}=152^\circ00'-122^\circ46'\;D=29^\circ14',\\\ Az_{DE}&=Az_{CD}-d_{DE}=29^\circ14'-124^\circ31'\;D=264^\circ43'\quad(\text{+}360^\circ\text{ para ficar positivo}),\\\ Az_{EF}&=Az_{DE}+d_{EF}=264^\circ43'+121^\circ20'\;E=386^\circ03'-360^\circ=26^\circ03',\\\ Az_{FA}&=Az_{EF}-d_{FA}=26^\circ03'-146^\circ30'\;D=-120^\circ27'+360^\circ=239^\circ33',\\\ Az'_{AB}&=Az_{FA}-d_{AB}=239^\circ33'-104^\circ00'\;D=135^\circ33'\quad(\text{comparamos com }135^\circ30'). \end{aligned}

Passo 3

Cálculo dos deslocamentos e das coordendas acumuladas. Seja \Delta X=L\sin Az, \Delta Y=L\cos Az. A cada perna somamos ao vértice anterior:
\begin{aligned} \Delta X_{AB}&=26{,}00\sin135^\circ30'=18{,}22,\quad \Delta Y_{AB}=26{,}00\cos135^\circ30'=-18{,}50,\\\ X_B&=X_A+\Delta X_{AB}=10\,000{,}00+18{,}22=10\,018{,}22,\\\ Y_B&=Y_A+\Delta Y_{AB}=15\,000{,}00-18{,}50=14\,981{,}50. \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta X_{BC}&=36{,}10\sin152^\circ00'=16{,}95,\quad \Delta Y_{BC}=36{,}10\cos152^\circ00'=-31{,}88,\\\ X_C&=10\,018{,}22+16{,}95=10\,035{,}17,\\\ Y_C&=14\,981{,}50-31{,}88=14\,949{,}62. \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta X_{CD}&=50{,}00\sin29^\circ14'=24{,}40,\quad \Delta Y_{CD}=50{,}00\cos29^\circ14'=43{,}64,\\\ X_D&=10\,035{,}17+24{,}40=10\,059{,}57,\\\ Y_D&=14\,949{,}62+43{,}64=14\,993{,}26. \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta X_{DE}&=32{,}30\sin264^\circ43'=-32{,}18,\quad \Delta Y_{DE}=32{,}30\cos264^\circ43'=-2{,}96,\\\ X_E&=10\,059{,}57-32{,}18=10\,027{,}39,\\\ Y_E&=14\,993{,}26-2{,}96=14\,990{,}30. \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta X_{EF}&=41{,}00\sin26^\circ03'=17{,}98,\quad \Delta Y_{EF}=41{,}00\cos26^\circ03'=36{,}83,\\\ X_F&=10\,027{,}39+17{,}98=10\,045{,}37,\\\ Y_F&=14\,990{,}30+36{,}83=15\,027{,}13. \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta X_{FA}&=52{,}50\sin239^\circ33'=-45{,}21,\quad \Delta Y_{FA}=52{,}50\cos239^\circ33'=-26{,}24,\\\ X'_A&=10\,045{,}37-45{,}21=10\,000{,}16,\\\ Y'_A&=15\,027{,}13-26{,}24=15\,000{,}89. \end{aligned}

Passo 4

Verificação de fechamento (misclosure):
\Delta X_{f} = X'_A - X_A=0{,}16\;\mathrm m,\qquad \Delta Y_{f} = Y'_A - Y_A=0{,}89\;\mathrm m.
O desvio está dentro do esperado para um levantamento manual.

Resposta

As coordenadas retangulares absolutas dos vértices são (em metros, com duas casas decimais):
A) X_A=10\,000,00, Y_A=15\,000,00
B) X_B=10\,018,22, Y_B=14\,981,50
C) X_C=10\,035,17, Y_C=14\,949,62
D) X_D=10\,059,57, Y_D=14\,993,26
E) X_E=10\,027,39, Y_E=14\,990,30
F) X_F=10\,045,37, Y_F=15\,027,13

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