Relacione a coluna da esquerda com a direita, relacionando cada limite com a sua definição formal.
(A) \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L
( ) \forall \epsilon>0, \exists \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta \Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon
(A) \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=L
( ) \forall \epsilon>0, \exists N<0 tal que x<N \Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon
(B) \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=L
( ) \forall \epsilon>0, \exists \delta>0 tal que 0<x-a<\delta \Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon
(B) \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-\infty
( ) \forall M<0, \exists N>0 tal que x>N \Rightarrow f(x)<M
(C) \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\infty
( ) \forall M>0, \exists \delta>0 tal que 0<x-a<\delta \Rightarrow f(x)>M
(C) \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=-\infty
( ) \forall M<0, \exists \delta>0 tal que 0<x-a<\delta \Rightarrow f(x)<M
(D) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=L
( ) \forall \epsilon>0, \exists \delta>0 tal que 0<a-x<\delta \Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon
(D) \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty
( ) \forall M>0, \exists N>0 tal que x>N \Rightarrow f(x)>M
(E) \lim _{x \rightarrow a} f(x)=-\infty
( ) \forall M<0, \exists \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)<M
(E) \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty
( ) \forall M<0, \exists N<0 tal que x<N \Rightarrow f(x)<M
(F) \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L
( ) \forall \epsilon>0, \exists N>0 tal que x>N \Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon
(F) \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\infty
( ) \forall M>0, \exists N<0 tal que x<N \Rightarrow f(x)>M
(G) \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty
( ) \forall M>0, \exists \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>M
(G) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\infty
( ) \forall M<0, \exists \delta>0 tal que 0<a-x<\delta \Rightarrow f(x)>M
(H) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=-\infty
( ) \forall M<0, \exists \delta>0 tal que 0<a-x<\delta \Rightarrow f(x)<M

Passo 1

O enunciado pede para associar cada definição formal de limite à notação adequada. Temos três tipos de limites:
  1. Limites finitos em ponto finito (envolvem parâmetros \epsilon e \delta).
  2. Limites infinitos em ponto finito (envolvem M e \delta).
  3. Limites em x\to\pm\infty (envolvem \epsilon ou M e um parâmetro N).

Passo 2

Limites finitos em ponto finito e em \pm\infty com valor finito L:
  • Dupla distância 0<|x-a|<\delta \lim_{x\to a}f(x)=L.
  • Distância unilateral 0<x-a<\delta \lim_{x\to a^+}f(x)=L.
  • Distância unilateral 0<a-x<\delta \lim_{x\to a^-}f(x)=L.
  • Para x\to -\infty, usamos \exists N<0 tal que x<N\implies|f(x)-L|<\epsilon.
  • Para x\to +\infty, usamos \exists N>0 tal que x>N\implies|f(x)-L|<\epsilon.

Passo 3

Limites infinitos em ponto finito (usa M e \delta):
  • Two-sided \lim_{x\to a}f(x)=\infty ou -\infty usa 0<|x-a|<\delta.
  • One-sided \lim_{x\to a^+} ou \lim_{x\to a^-} usa 0<x-a<\delta ou 0<a-x<\delta.
  • Se for \to\infty, então \forall M>0;\quad se for \to-\infty, então \forall M<0.

Passo 4

Limites em x\to\pm\infty que divergem (usa M e N):
  • \lim_{x\to +\infty}f(x)=\infty usa \forall M>0\;\exists N>0 tal que x>N\implies f(x)>M.
  • \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty usa \forall M<0\;\exists N>0 tal que x>N\implies f(x)<M.
  • \lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty usa \forall M>0\;\exists N<0 tal que x<N\implies f(x)>M.
  • \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty usa \forall M<0\;\exists N<0 tal que x<N\implies f(x)<M.

Passo 5

Agora é só fazer a correspondência direta:

Resposta

(A) \lim_{x\to a}f(x)=L \displaystyle\forall \epsilon>0,\;\exists \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-L|<\epsilon
(A) \lim_{x\to -\infty}f(x)=L \displaystyle\forall \epsilon>0,\;\exists N<0 tal que x<N\implies|f(x)-L|<\epsilon
(B) \lim_{x\to a^+}f(x)=L \displaystyle\forall \epsilon>0,\;\exists \delta>0 tal que 0<x-a<\delta\implies|f(x)-L|<\epsilon
(B) \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty \displaystyle\forall M<0,\;\exists N>0 tal que x>N\implies f(x)<M
(C) \lim_{x\to a^+}f(x)=\infty \displaystyle\forall M>0,\;\exists \delta>0 tal que 0<x-a<\delta\implies f(x)>M
(C) \lim_{x\to a^+}f(x)=-\infty \displaystyle\forall M<0,\;\exists \delta>0 tal que 0<x-a<\delta\implies f(x)<M
(D) \lim_{x\to a^-}f(x)=L \displaystyle\forall \epsilon>0,\;\exists \delta>0 tal que 0<a-x<\delta\implies|f(x)-L|<\epsilon
(D) \lim_{x\to +\infty}f(x)=\infty \displaystyle\forall M>0,\;\exists N>0 tal que x>N\implies f(x)>M
(E) \lim_{x\to a}f(x)=-\infty \displaystyle\forall M<0,\;\exists \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta\implies f(x)<M
(E) \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty \displaystyle\forall M<0,\;\exists N<0 tal que x<N\implies f(x)<M
(F) \lim_{x\to +\infty}f(x)=L \displaystyle\forall \epsilon>0,\;\exists N>0 tal que x>N\implies|f(x)-L|<\epsilon
(F) \lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty \displaystyle\forall M>0,\;\exists N<0 tal que x<N\implies f(x)>M
(G) \lim_{x\to a}f(x)=\infty \displaystyle\forall M>0,\;\exists \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta\implies f(x)>M
(G) \lim_{x\to a^-}f(x)=\infty \displaystyle\forall M<0,\;\exists \delta>0 tal que 0<a-x<\delta\implies f(x)>M
(H) \lim_{x\to a^-}f(x)=-\infty \displaystyle\forall M<0,\;\exists \delta>0 tal que 0<a-x<\delta\implies f(x)<M

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