Dadas as funções y definidas implicitamente abaixo, encontre y^{\prime}
5. a \operatorname{sen}^{2}(x+y)=b

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
a\operatorname{sen}^2\bigl(x+y(x)\bigr)=b,
onde a e b são constantes, e pede a derivada y'. Vamos usar derivação implícita e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, o lado direito é constante, logo dá zero. No lado esquerdo, usamos que \dfrac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}^2(u)\bigr]=2\operatorname{sen}(u)\cos(u)\,u'
e que u=x+y(x) tem derivada u'=1+y'. Assim:
\frac{d}{dx}\Bigl[a\operatorname{sen}^2(x+y)\Bigr] =a\cdot2\operatorname{sen}(x+y)\cos(x+y)\,(1+y')
e o lado direito dá
\frac{d}{dx}[b]=0.

Passo 3

Igualando e simplificando (assumindo a\neq0):
2a\operatorname{sen}(x+y)\cos(x+y)\,(1+y')=0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}(2(x+y))\,(1+y')=0.
Para que a identidade seja mantida para todos os x, o fator que depende de y' deve anular:
1+y'=0 \quad\Longrightarrow\quad y'=-1.

Resposta

y'=-1.

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