Calcular a corrente I(t) no circuito RLC abaixo com R=2 Omega, L=1 H, C=0,05 F, que é conectada a uma fonte de voltagem E=1579 sen 3 t V
Resolver o problema de valor inicial assumindo corrente e carga iniciais zero.

Passo 1

O enunciado pede a corrente I(t) em um circuito série RLC com R=2,Omega, L=1, H, C=0,05, F, excitado por E(t)=tfrac1579sin3t e condições iniciais nulas (carga e corrente zero). Vamos modelar pela segunda lei de Kirchhoff e resolver a EDO resultante.

Passo 2

Em um circuito série RLC, a soma das quedas de tensão em L, R e C iguala a fonte. Se q(t) é a carga no capacitor, então i(t)=q'(t). A EDO fica:
L,q''(t)+R,q'(t)+1C,q(t)=E(t)
Substituindo L=1, R=2, C=0,05 e E(t)=tfrac1579sin3t, obtemos
q''+2q'+20q=1579sin3t

Passo 3

Para a solução geral, quebramos em homogênea e particular:
– Solução homogênea: resolvemos r^2+2r+20=0, cujas raízes são r=-1pm jraiz19. Logo
qh(t)=e^-tl(C1cos(raiz19t)+C2sin(raiz19t)r)

Passo 4

– Solução particular: assumimos
qp(t)=Asin3t+Bcos3t
Derivando e substituindo na EDO, igualamos coeficientes de sin3t e cos3t. Isso leva ao sistema:
11A-6B=1579, 6A+11B=0
Resolvendo, encontram-se
A=119, , B=-23

Passo 5

A corrente total é i(t)=q'(t)=qh'(t)+qp'(t). Calculamos:
ip(t)=qp'(t)=113cos3t+2sin3t
Para a parte homogênea, derivamos qh e obtemos
ih(t)=e^-tl(-tfrac113cos(raiz19t)-tfrac293raiz19sin(raiz19t)r),
onde as constantes foram ajustadas pelas condições iniciais q(0)=0 e i(0)=0, resultando em C1=2/3 e C2=-3/raiz19.

Passo 6

Juntando homogênea e particular, a solução para a corrente é:
I(t)=i(t)=e^-tl(-tfrac113cos(raiz19t)-tfrac293raiz19sin(raiz19t)r)+113cos3t+2sin3t

Resposta

I(t)=e^-tl(-tfrac113cos(raiz19t)-tfrac293raiz19sin(raiz19t)r)+tfrac113cos3t+2sin3t

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