Calcule o valor de |z| que satisfaz a equação:
|(z-i)(1-i raiz3)|=|2 z|.

Passo 1

A questão pede o valor de |z| que satisfaz |(z - i)(1 - iraiz3)| = |2z|. É um exercício de números complexos envolvendo módulo e geometria. Vamos usar as propriedades do módulo de produtos para simplificar a equação.

Passo 2

Aplicando que |ab| = |a| cdot |b|, reescrevemos o lado esquerdo: |(z - i)(1 - iraiz3)| = |z - i| cdot |1 - iraiz3|.
Calculamos o módulo de 1 - iraiz3:
|1 - iraiz3| = raiz1^2 + (raiz3)^2 = 2
Substituindo na equação, obtemos 2|z - i| = 2|z|, ou seja |z - i| = |z|.

Passo 3

Interpretamos |z - i| = |z| geometricamente: são os pontos do plano equidistantes de 0 e de i. Isso é a reta que passa pelo ponto médio de 0 e i, perpendicular ao segmento que liga 0 a i. Logo
Im(z) = tfrac12

Passo 4

Escrevendo z = x + itfrac12 com xinR, o módulo é
|z| = raizx^2 + l(tfrac12r)^2 = raizx^2 + tfrac14
Isso mostra que |z| pode variar conforme x, e seu menor valor é tfrac12.

Resposta

Os valores de |z| são raizx^2 + tfrac14 para todo xinR, portanto variam em [tfrac12,infty).

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