Encontrar
da equação integral
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é o problema aqui. A gente precisa encontrar a função $ F(t) $ que satisfaz a seguinte equação integral:
Essa questão envolve equações integrais, e para resolvê-la, vamos precisar usar a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que ajuda a resolver equações diferenciais e integrais transformando-as no domínio da frequência, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de $ F(t) $ é $ F(s) $, onde $ s $ é a variável na transformada.
Aplicando a transformada:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de algumas propriedades da Transformada de Laplace. A transformada de $ t $ é $ \frac{1}{s^2} $. Além disso, a transformada de uma convolução, que é o caso dessa integral, é o produto das transformadas individuais.
Então, a transformada da integral $ \int_{0}^{t} F(t - \beta) e^{-\beta} d\beta $ é $ F(s) \cdot \frac{1}{s + 1} $, porque a transformada de $ e^{-\beta} $ é $ \frac{1}{s + 1} $.
Passo 4
Substituindo essas transformadas na equação, temos:
Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar $ F(s) $.
Passo 5
Vamos isolar $ F(s) $. Primeiro, subtraímos $ F(s) \cdot \frac{1}{s + 1} $ de ambos os lados:
Fatorando $ F(s) $ no lado esquerdo:
Simplificando dentro do parêntese:
Passo 6
Agora, resolvemos para $ F(s) $:
Passo 7
Por fim, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para voltar para $ F(t) $. Sabemos que:
Então, somando essas partes:
Resposta
A função $ F(t) $ é igual a $ t + \frac{t^2}{2} $.