circ Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Então calcule a área da região.
f) y=x^2, y^2=x.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a região limitada pelas curvas y = x^2 e y^2 = x. O conteúdo é cálculo de área entre curvas em coordenadas cartesianas. Vamos achar os pontos de interseção e decidir se integramos em x ou em y.

Passo 2

Determinar pontos de interseção: resolvemos y = x^2 e y^2 = x. Substituindo x = y^2 em y = x^2 obtemos y = y^4, logo y(y^3 -1)=0 e daí y=0 ou y=1. Isso dá os pontos (0,0) e (1,1).

Passo 3

Escolher ordem de integração e funções limítrofes: para 0 <= x <= 1, as curvas podem ser escritas como y = x^2 e y = raizx. Como raizx >= x^2 em [0,1], faz sentido integrar em x, subtraindo a curva inferior da superior.

Passo 4

Calcular a área pela integral:
A = integral0^1 l(raizx - x^2r),dx
Separamos termos e integramos:
integral0^1 x^1/2,dx = 23x^3/2e integral0^1 x^2,dx = 13x^3
Avaliando de 0 a 1:
A = l(tfrac23 - tfrac13r) = tfrac13

Resposta

A área da região é tfrac13.

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