Calcular a corrente
no circuito
abaixo
, que é conectada a uma fonte de voltagem
Se a indutância dada for substituída por uma indutância
, determine o valor de
para o qual a amplitude da resposta em estado estacionário é máxima.
Se a indutância dada for substituída por uma indutância
Passo 1
O circuito é um RLC série conectado a uma fonte senoidal de amplitude
V e frequência angular
rad/s. Vamos usar a lei de Kirchhoff de tensões para obter a equação diferencial de
e depois resolver por partes: a solução transiente (homogênea) e a solução em regime permanente (particular).
Passo 2
Aplicando Kirchhoff: a soma de
,
e
é igual a
. Diferenciando, obtemos a ODE de segunda ordem em
:
Passo 3
Para a parte homogênea definimos o polinômio característico:
Com
,
,
temos o amortecimento
e a frequência natural sem amortecimento
. Como
, a solução homogênea é subamortecida:
onde
.
Passo 4
Para a solução particular usamos o método fasorial. A impedância do circuito é
com módulo
e fase
Logo, a corrente em regime permanente é
com
A.
Passo 5
A solução geral é
Passo 6
Assumindo condições iniciais nulas (circuito sem carga em
:
e
) encontrarmos os coeficientes:
- Em
: ⇒ - Derivando e avaliando em
dá
Passo 7
Substituindo, a solução completa fica:
Passo 8
Para maximizar a amplitude em regime permanente basta anular a reatância total:
. Assim
Resposta
A corrente completa é
$$i(t)=e^{-t}\bigl(3.651\cos(4.3589,t)-0.556\sin(4.3589,t)\bigr)+4.177\sin(3t-1.07)
$$
e o valor de
que maximiza a amplitude em regime estacionário é