Calcular a corrente I(t) no circuito RLC abaixo com R=2 Omega, L=1 H, C=0,05 F, que é conectada a uma fonte de voltagem E=1579 sen 3 t V
Se a indutância dada for substituída por uma indutância L, determine o valor de L para o qual a amplitude da resposta em estado estacionário é máxima.

Passo 1

O circuito é um RLC série conectado a uma fonte senoidal de amplitude Em=tfrac1579 V e frequência angular omega=3 rad/s. Vamos usar a lei de Kirchhoff de tensões para obter a equação diferencial de i(t) e depois resolver por partes: a solução transiente (homogênea) e a solução em regime permanente (particular).

Passo 2

Aplicando Kirchhoff: a soma de vL=L,di/dt, vR=R,i e vC=tfrac1Cintegral i,dt é igual a E(t)=Emsin(omega t). Diferenciando, obtemos a ODE de segunda ordem em i(t):
Ld^2idt^2+Rdidt+1C,i=dEdt=Em,omegacos(omega t)

Passo 3

Para a parte homogênea definimos o polinômio característico:
Lr^2+Rr+1C=0
Com R=2, L=1, C=0.05 temos o amortecimento alpha=tfracR2L=1 e a frequência natural sem amortecimento omega0=1/raizLC=4.4721. Como alpha, a solução homogênea é subamortecida:
ih(t)=e^-alpha tl(Acos(omegad t)+Bsin(omegad t)r),
onde omegad=raizomega0^2-alpha^2=4.3589.

Passo 4

Para a solução particular usamos o método fasorial. A impedância do circuito é
Z=R+j(omega L-1/(omega C))=2+j(3-6.6667)=2-j3.6667,
com módulo
|Z|=raiz2^2+(-3.6667)^2=4.177
e fase
phi=-arctan-3.66672=1.07 rad=-61.3^circ
Logo, a corrente em regime permanente é
ip(t)=Imsin(omega t+phi),
com Im=Em/|Z|=(157/9)/4.177=4.177 A.

Passo 5

A solução geral é
i(t)=ih(t)+ip(t)=e^-tl(Acos(4.3589,t)+Bsin(4.3589,t)r)+4.177sin(3t-1.07)

Passo 6

Assumindo condições iniciais nulas (circuito sem carga em t=0: i(0)=0 e di/dt(0)=0) encontrarmos os coeficientes:
  • Em t=0: A+4.177sin(-1.07)=0 A=4.177sin(1.07)=3.651
  • Derivando e avaliando em t=0 B=(A -4.177cdot3cos(-1.07))/4.3589=-0.556

Passo 7

Substituindo, a solução completa fica:
i(t)=e^-tl(3.651cos(4.3589,t)-0.556sin(4.3589,t)r)+4.177sin(3t-1.07)

Passo 8

Para maximizar a amplitude em regime permanente basta anular a reatância total: omega L-1/(omega C)=0. Assim
L=1omega^2 C=13^2cdot0.05=2.222 H

Resposta

A corrente completa é
$$i(t)=e^{-t}\bigl(3.651\cos(4.3589,t)-0.556\sin(4.3589,t)\bigr)+4.177\sin(3t-1.07)
$$
e o valor de i(t)=e^-tl(3.651cos(4.3589,t)-0.556sin(4.3589,t)r)+4.177sin(3t-1.07) que maximiza a amplitude em regime estacionário é
L

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