Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que precisa resolver:
Aqui, o conteúdo principal é equações diferenciais, e vamos precisar saber como separar as variáveis e integrar para achar a solução geral. Basicamente, vamos reorganizar a equação para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo significa. O
representa a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Então, a equação fica:
Nosso objetivo é isolar
para facilitar a resolução.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para isolar o termo com a derivada:
Agora, dividimos ambos os lados por
(desde que
):
Mas para resolver essa equação, vamos separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos de
de um lado e os termos de
do outro.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
e por
, temos:
Agora, conseguimos separar as variáveis
e
de lados opostos da equação, o que facilita a integração.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados agora:
A integração é uma operação que nos ajuda a encontrar a função original a partir da sua derivada. Vamos calcular cada integral:
- A integral de
é . - A integral de
é .
Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
isolando-o na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos chamar
de simplesmente
(porque é uma constante qualquer):
Para achar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da EDO
é:
onde
é uma constante qualquer.