Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
(d) y y^prime+36 x=0

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que precisa resolver:
y cdot y' + 36x = 0
Aqui, o conteúdo principal é equações diferenciais, e vamos precisar saber como separar as variáveis e integrar para achar a solução geral. Basicamente, vamos reorganizar a equação para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo significa. O y cdot dydx + 36x = 0 representa a derivada de em relação a , ou seja, . Então, a equação fica:
Nosso objetivo é isolar para facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para isolar o termo com a derivada:
y cdot dydx = -36x
Agora, dividimos ambos os lados por dydx = -36xy (desde que ):
Mas para resolver essa equação, vamos separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos de de um lado e os termos de do outro.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por y , dy = -36x , dx e por , temos:
Agora, conseguimos separar as variáveis e de lados opostos da equação, o que facilita a integração.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados agora:
integral y , dy = integral -36x , dx
A integração é uma operação que nos ajuda a encontrar a função original a partir da sua derivada. Vamos calcular cada integral:
  • A integral de 12y^2 = -18x^2 + C é .
  • A integral de é .
Então:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para 12y^2 = -18x^2 + C isolando-o na equação:
y^2 = -36x^2 + 2C
Multiplicando ambos os lados por 2:
y^2 = -36x^2 + C
Podemos chamar y = pm raiz -36x^2 + C de simplesmente (porque é uma constante qualquer):
Para achar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução geral da EDO y = pm raiz -36x^2 + C é:
onde é uma constante qualquer.

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