Calcular
para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
. Isso é tudo que nos foi dado: a expressão explícita de
em função de
e a tarefa de derivá‑la.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão interna para trabalhar com potências, que ficam mais fáceis de derivar. Note que a raiz quadrada é potência
e temos uma potência
por dentro. Assim,
Então podemos reescrever
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia para a derivada da função composta
. A derivada conhecida de
em relação a
é
Pela regra da cadeia, se
então
Aqui tomamos
.
Passo 4
Agora calculamos
para
. Novamente usamos a regra da cadeia: se
com
, então
Falta
. Como
, aplicamos a regra da potência para
. A derivada é
Portanto
Passo 5
Substituímos
e
em
:
Agora simplificamos os fatores numéricos:
. Logo
Passo 6
Voltando à fórmula da derivada de
, temos
Substituindo
e o
encontrado,
Eleve a potência no denominador:
. Assim
Passo 7
Podemos reescrever
no denominador para ficar mais “bonito”:
Observações de domínio (importante para a prova): a derivada acima vale para
e para valores de
tais que o argumento da raiz no denominador seja positivo, isto é
, e também o valor interno de
precisa estar em
. Em pontos onde o denominador zera ou
a derivada não existe.