Calcular d y / d x para as seguintes funções:
y=\operatorname{arcsen} \sqrt{\left(25-x^{2 / 3}\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\operatorname{arcsen}\sqrt{\left(25-x^{2/3}\right)^{3}}
e pede para calcular \dfrac{d y}{d x}. Isso é tudo que nos foi dado: a expressão explícita de y em função de x e a tarefa de derivá‑la.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão interna para trabalhar com potências, que ficam mais fáceis de derivar. Note que a raiz quadrada é potência 1/2 e temos uma potência 3 por dentro. Assim,
\sqrt{\left(25-x^{2/3}\right)^{3}}=\left(25-x^{2/3}\right)^{3/2}.
Então podemos reescrever
y=\operatorname{arcsen}\!\bigl((25-x^{2/3})^{3/2}\bigr).

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia para a derivada da função composta \operatorname{arcsen}(u(x)). A derivada conhecida de \operatorname{arcsen}(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\operatorname{arcsen}(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Pela regra da cadeia, se y=\operatorname{arcsen}(u(x)) então
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}\cdot u'(x).
Aqui tomamos u(x)=(25-x^{2/3})^{3/2}.

Passo 4

Agora calculamos u'(x) para u(x)=(25-x^{2/3})^{3/2}. Novamente usamos a regra da cadeia: se u(x)=w(x)^{3/2} com w(x)=25-x^{2/3}, então
u'(x)=\frac{3}{2}w(x)^{1/2}\cdot w'(x).
Falta w'(x). Como w(x)=25-x^{2/3}, aplicamos a regra da potência para x^{2/3}. A derivada é
\frac{d}{dx}x^{2/3}=\frac{2}{3}x^{-1/3}.
Portanto
w'(x)=0-\frac{2}{3}x^{-1/3}=-\frac{2}{3}x^{-1/3}.

Passo 5

Substituímos w(x) e w'(x) em u'(x):
u'(x)=\frac{3}{2}\bigl(25-x^{2/3}\bigr)^{1/2}\cdot\left(-\frac{2}{3}x^{-1/3}\right).
Agora simplificamos os fatores numéricos: \dfrac{3}{2}\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-1. Logo
u'(x)=-\bigl(25-x^{2/3}\bigr)^{1/2}\,x^{-1/3}.

Passo 6

Voltando à fórmula da derivada de \operatorname{arcsen}, temos
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}.
Substituindo u(x)=(25-x^{2/3})^{3/2} e o u'(x) encontrado,
\frac{dy}{dx}=\frac{-\bigl(25-x^{2/3}\bigr)^{1/2}\,x^{-1/3}}{\sqrt{\,1-\bigl((25-x^{2/3})^{3/2}\bigr)^{2}\,}}.
Eleve a potência no denominador: \bigl((25-x^{2/3})^{3/2}\bigr)^{2}=(25-x^{2/3})^{3}. Assim
\frac{dy}{dx}=-\frac{\bigl(25-x^{2/3}\bigr)^{1/2}\,x^{-1/3}}{\sqrt{\,1-(25-x^{2/3})^{3}\,}}.

Passo 7

Podemos reescrever x^{-1/3} no denominador para ficar mais “bonito”:
\frac{dy}{dx}=-\frac{\bigl(25-x^{2/3}\bigr)^{1/2}}{x^{1/3}\,\sqrt{\,1-(25-x^{2/3})^{3}\,}}.
Observações de domínio (importante para a prova): a derivada acima vale para x\neq 0 e para valores de x tais que o argumento da raiz no denominador seja positivo, isto é 1-(25-x^{2/3})^{3}>0, e também o valor interno de \operatorname{arcsen} precisa estar em [-1,1]. Em pontos onde o denominador zera ou x=0 a derivada não existe.

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\frac{\bigl(25-x^{2/3}\bigr)^{1/2}}{x^{1/3}\,\sqrt{\,1-(25-x^{2/3})^{3}\,}}.

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