Calcular d yd x sendo F(x, y)=x^2 sen(x+y)+y^2 cos (x+y)=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar dydx implicitamente a partir de F(x,y)=x^2sin(x+y)+y^2cos(x+y)=0. O conteúdo principal é diferenciação implícita usando regra do produto e cadeia, além de agrupar termos com y'.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Como o lado direito é zero, teremos:
ddxl(x^2sin(x+y)r)+ddxl(y^2cos(x+y)r)=0

Passo 3

Para o primeiro termo usamos regra do produto em x^2 e sin(x+y), e regra da cadeia em sin:
$$\frac{d}{dx}\bigl(x2\sin(x+y)\bigr)=2x\sin(x+y)+x2\cos(x+y),(1+y

Passo 4

Para o segundo termo usamos regra do produto em y^2 (onde y depende de x) e regra da cadeia em cos:
ddxl(y^2cos(x+y)r)=2y,y'cos(x+y)+y^2l(-sin(x+y)r),(1+y'

Passo 5

Agora somamos as duas derivadas e igualamos a zero, distribuindo os termos em y':
2xsin(x+y)+x^2cos(x+y)+x^2cos(x+y)y'+2y,y'cos(x+y)-y^2sin(x+y)-y^2sin(x+y)y'=0

Passo 6

Agrupamos os termos que contêm y' num lado e os que não contêm no outro:
y'l(x^2cos(x+y)+2ycos(x+y)-y^2sin(x+y)r) + l(2xsin(x+y)+x^2cos(x+y)-y^2sin(x+y)r)=0

Passo 7

Isolamos y' e obtemos:
y'=-2xsin(x+y)+x^2cos(x+y)-y^2sin(x+y)x^2cos(x+y)+2ycos(x+y)-y^2sin(x+y)

Resposta

dydx=-2xsin(x+y)+x^2cos(x+y)-y^2sin(x+y)x^2cos(x+y)+2ycos(x+y)-y^2sin(x+y)

Exercícios relacionados