Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral 3(x-5)^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 3(x-5)^4,dx usando substituição. O conteúdo é integração por substituição, e vamos precisar reconhecer uma parte da função cujo diferencial aparece no integral.

Passo 2

Definimos a substituição u = x - 5. Logo, o diferencial é du = dx, pois d(x-5)=dx. Assim, a parte (x-5) da integral fica simplesmente u.

Passo 3

Reescrevemos a integral original em termos de u. Como dx = du e x-5=u, temos:
integral 3(x-5)^4,dx = integral 3u^4,du = integral 3u^-4,du
Agora integramos um monômio de potência. A regra para integral u^n,du = u^n+1n+1 + C (quando n neq -1) vale com n = -4. Então:
integral 3u^-4,du = 3 cdot u^-3-3 + C = -u^-3 + C
Voltamos à variável original substituindo u = x-5 de volta:
-u^-3 + C = -(x-5)^-3 + C

Resposta

-(x-5)^{-3} + C

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