Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \sin x \cdot \tg x $. Esse exercício faz parte do estudo de derivadas, especificamente aplicando a regra do produto. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas como seno e tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função que é o produto de duas funções envolve a regra do produto. A regra diz que se $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, então a derivada $ f’(x) $ é:
Aqui, identificamos $ u(x) = \sin x $ e $ v(x) = \tg x $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
Lembrando que a derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $ e a derivada de $ \tg x $ é $ \sec^2 x $.
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Podemos simplificar a expressão resultante para deixá-la mais compacta. Sabemos que $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $ e $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $. Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = \sin x \cdot \tg x $ é: