Mostre que as equações abaixo não são exatas mas tornam-se exatas quando multiplicadas pelo fator integrante
dado. Resolva as equações assim obtidas.
Passo 1
Temos a equação diferencial
e o fator integrador dado é
. O conteúdo envolve equações diferenciais exatas e fator integrante.
Passo 2
Para ver que a equação original não é exata, definimos
e
. Calculamos
e
,
que são diferentes, logo não é exata.
que são diferentes, logo não é exata.
Passo 3
Multiplicamos a equação por
e obtemos
Passo 4
Verificamos a exatidão da nova equação:
Como são iguais, a equação agora é exata.
Passo 5
Para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
:
Passo 6
Determinamos
impondo
:
Logo
e
é constante.
Resposta
A solução implícita geral é
com
constante de integração.