Mostre que as equações abaixo não são exatas mas tornam-se exatas quando multiplicadas pelo fator integrante μ(x, y) dado. Resolva as equações assim obtidas.

Passo 1

Temos a equação diferencial
l(sin yy-2e^-xsin xr),dx+l(cos y+2e^-xcos xyr),dy=0
e o fator integrador dado é mu(x,y)=y e^x. O conteúdo envolve equações diferenciais exatas e fator integrante.

Passo 2

Para ver que a equação original não é exata, definimos
M(x,y)=sin yy-2e^-xsin x e N(x,y)=cos y+2e^-xcos xy. Calculamos
partial M/partial y=ycos y-sin yy^2 e
partial N/partial x=-2e^-xcos xy-2e^-xsin xy,
que são diferentes, logo não é exata.

Passo 3

Multiplicamos a equação por mu=y e^x e obtemos
widetilde M=ye^xM=e^xsin y-2ysin x, widetilde N=ye^xN=e^xcos y+2cos x

Passo 4

Verificamos a exatidão da nova equação:
partial widetilde Mpartial y=e^xcos y-2sin x, partial widetilde Npartial x=e^xcos y-2sin x
Como são iguais, a equação agora é exata.

Passo 5

Para encontrar a função potencial psi(x,y), integramos widetilde M em relação a x:
psi(x,y)=integrall(e^xsin y-2ysin xr)dx=e^xsin y+2ycos x+h(y)

Passo 6

Determinamos h(y) impondo partialpsi/partial y=widetilde N:
partialpsipartial y=e^xcos y+2cos x+h'(y)=e^xcos y+2cos x
Logo h'(y)=0 e h é constante.

Resposta

A solução implícita geral é
e^xsin y+2ycos x=C,
com C constante de integração.

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