Considere em R^2 os vetores u, v, w definidos abaixo.
u=2 i+1 j, v=3 i+2 j, w=4 i-j
Calcule:
d(v, w)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos dá três vetores no plano R^2: u, v e w. A gente precisa calcular a distância entre os vetores v e w, que é representada por d(v, w). Para isso, vamos usar os conceitos de componentes vetoriais e a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como representa um vetor no plano. Cada vetor tem duas componentes: uma na direção do eixo i (eixo x) e outra na direção do eixo j (eixo y). No nosso caso:
  • v = 3i + 2j significa que v tem componente 3 no eixo x e 2 no eixo y.
  • w = 4i - j significa que w tem componente 4 no eixo x e -1 no eixo y.

Passo 3

Para encontrar a distância entre v e w, vamos primeiro calcular a diferença entre eles, ou seja, v - w. Isso nos dará um novo vetor que representa a “diferença” entre os dois:
v - w = (3i + 2j) - (4i - j) = (3 - 4)i + (2 - (-1))j = -1i + 3j

Passo 4

Agora que temos a diferença dos vetores, vamos calcular o comprimento desse vetor, que é a distância entre v e w. Usamos a fórmula da norma de um vetor:
d(v, w) = |v - w| = raiz(-1)^2 + 3^2 = raiz1 + 9 = raiz10

Resposta

A distância entre os vetores v e w é raiz10 unidades.

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