Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a derivada da função $ g(x) = \operatorname{cossec} , x \cdot \operatorname{tg} , x $. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas como cossecante e tangente. Precisamos lembrar como derivar cada uma dessas funções para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Regra do Produto, que diz que se você tem duas funções multiplicadas, $ u(x) \cdot v(x) $, a derivada será:
Isso significa que a derivada da primeira função multiplicada pela segunda, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.
Passo 3
Vamos identificar $ u(x) = \operatorname{cossec} , x $ e $ v(x) = \operatorname{tg} , x $. Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.
A derivada de $ \operatorname{cossec} , x $ é:
Isso vem da fórmula padrão da derivada da cossecante.
Passo 4
A derivada de $ \operatorname{tg} , x $ é:
Essa também é uma derivada padrão das funções trigonométricas.
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra do Produto substituindo $ u’(x) $, $ u(x) $, e $ v’(x) $:
Substituindo, temos:
Resposta
A derivada da função é: