Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
g(x)=cossec x cdot tg x

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a derivada da função $ g(x) = \operatorname{cossec} , x \cdot \operatorname{tg} , x $. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas como cossecante e tangente. Precisamos lembrar como derivar cada uma dessas funções para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Regra do Produto, que diz que se você tem duas funções multiplicadas, $ u(x) \cdot v(x) $, a derivada será:
u(x) cdot v(x)
Isso significa que a derivada da primeira função multiplicada pela segunda, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

Vamos identificar $ u(x) = \operatorname{cossec} , x $ e $ v(x) = \operatorname{tg} , x $. Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.
A derivada de $ \operatorname{cossec} , x $ é:
u(x) = cossec , x
Isso vem da fórmula padrão da derivada da cossecante.

Passo 4

A derivada de $ \operatorname{tg} , x $ é:
tg , x
Essa também é uma derivada padrão das funções trigonométricas.

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Produto substituindo $ u’(x) $, $ u(x) $, e $ v’(x) $:
u'(x)
Substituindo, temos:
u(x)

Resposta

A derivada da função é:
g'(x) = -cossec , x cdot ctg , x cdot tg , x + cossec , x cdot sec^2 , x

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