Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! A gente tem a função $ y(x) = \sqrt{x} \cdot \sec x + 8 $. O conteúdo aqui envolve derivadas de funções compostas e produtos de funções. Vamos precisar saber como derivar raízes, funções trigonométricas e constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que derivar uma constante, como o 8, é bem tranquilo. A derivada de uma constante é sempre zero.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte mais interessante: $ \sqrt{x} \cdot \sec x $. Aqui, temos um produto de duas funções: $ \sqrt{x} $ e $ \sec x $. Para derivar isso, usamos a regra do produto.
Passo 4
A regra do produto diz que se temos duas funções $ u(x) $ e $ v(x) $, a derivada de $ u(x) \cdot v(x) $ é:
No nosso caso, $ u(x) = \sqrt{x} $ e $ v(x) = \sec x $.
Passo 5
Vamos encontrar $ u’(x) $ e $ v’(x) $ separadamente.
Para $ u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $, a derivada é:
Para $ v(x) = \sec x $, a derivada é:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Juntando tudo, lembrando que a derivada do 8 é zero, temos:
Resposta
A derivada da função é: