Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
y(x)=raizx(sec x)+8

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! A gente tem a função $ y(x) = \sqrt{x} \cdot \sec x + 8 $. O conteúdo aqui envolve derivadas de funções compostas e produtos de funções. Vamos precisar saber como derivar raízes, funções trigonométricas e constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que derivar uma constante, como o 8, é bem tranquilo. A derivada de uma constante é sempre zero.
ddx(8) = 0

Passo 3

Agora, vamos focar na parte mais interessante: $ \sqrt{x} \cdot \sec x $. Aqui, temos um produto de duas funções: $ \sqrt{x} $ e $ \sec x $. Para derivar isso, usamos a regra do produto.

Passo 4

A regra do produto diz que se temos duas funções $ u(x) $ e $ v(x) $, a derivada de $ u(x) \cdot v(x) $ é:
u(x)
No nosso caso, $ u(x) = \sqrt{x} $ e $ v(x) = \sec x $.

Passo 5

Vamos encontrar $ u’(x) $ e $ v’(x) $ separadamente.
Para $ u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $, a derivada é:
u'(x)
Para $ v(x) = \sec x $, a derivada é:
v'(x)

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do produto:
ddx ( raizx cdot sec x ) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
12raizx cdot sec x + raizx cdot sec x tan x

Passo 7

Juntando tudo, lembrando que a derivada do 8 é zero, temos:
y'(x) = sec x2raizx + raizx cdot sec x tan x

Resposta

A derivada da função é:
y'(x) = sec x2raizx + raizx cdot sec x tan x

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