Considere em R^2 os vetores u, v, w definidos abaixo.
u=2 i+1 j, v=3 i+2 j, w=4 i-j
Calcule:
d(u, v)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Álgebra Vetorial. A gente tem três vetores no plano, que são u = 2i + 1j, v = 3i + 2j e w = 4i - j. A questão pede para calcular a distância entre os vetores u e v, que vamos chamar de d(u, v). Para isso, vamos precisar saber como calcular a distância entre dois vetores usando suas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a distância entre dois vetores. No plano, a distância entre dois vetores é basicamente o comprimento do segmento de reta que os une. Matematicamente, se temos dois vetores a = a1i + a2j e b = b1i + b2j, a distância d(a, b) é dada pela fórmula:
d(a, b) = raiz(b1 - a1)^2 + (b2 - a2)^2

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para calcular d(u, v). Primeiro, identificamos as componentes dos vetores u e v:
  • Para u = 2i + 1j, temos u1 = 2 e u2 = 1.
  • Para v = 3i + 2j, temos v1 = 3 e v2 = 2.

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da distância:
d(u, v) = raiz(v1 - u1)^2 + (v2 - u2)^2 = raiz(3 - 2)^2 + (2 - 1)^2

Passo 5

Vamos simplificar os cálculos dentro da raiz:
(3 - 2)^2 = 1^2 = 1
(2 - 1)^2 = 1^2 = 1
Somando esses valores:
1 + 1 = 2

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada de 2 para encontrar a distância:
d(u, v) = raiz2 approx 1,414

Resposta

A distância entre os vetores u e v é raiz2, aproximadamente 1,414 unidades.

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