Considere em R^2 os vetores u, v, w definidos abaixo.
u=2 i+1 j, v=3 i+2 j, w=4 i-j
Calcule:
u+2 v-2 w

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de álgebra vetorial aqui. No plano $ \mathbb{R}^{2} $, temos três vetores: $ u $, $ v $ e $ w $. A missão é calcular a combinação linear desses vetores: $ u + 2v - 2w $. Para resolver isso, vamos precisar saber como somar vetores e multiplicá-los por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como somar vetores. Se a gente tem dois vetores, por exemplo, $ a = a_1 \mathbf{i} + a_2 \mathbf{j} $ e $ b = b_1 \mathbf{i} + b_2 \mathbf{j} $, a soma deles é $ a + b = (a_1 + b_1) \mathbf{i} + (a_2 + b_2) \mathbf{j} $.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar um vetor por um escalar. Se temos um vetor $ a = a_1 \mathbf{i} + a_2 \mathbf{j} $ e um número $ k $, então $ k a = (k a_1) \mathbf{i} + (k a_2) \mathbf{j} $.

Passo 4

Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
  • $ u = 2 \mathbf{i} + 1 \mathbf{j} $
  • $ v = 3 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j} $
  • $ w = 4 \mathbf{i} - 1 \mathbf{j} $
Primeiro, calculamos $ 2v $:
u = 2 i + 1 j
Depois, calculamos $ -2w $:
v = 3 i + 2 j

Passo 5

Agora, somamos os vetores $ u $, $ 2v $ e $ -2w $:
u

Passo 6

Vamos somar as componentes $ \mathbf{i} $ e $ \mathbf{j} $ separadamente:
  • Para $ \mathbf{i} $:
i
- Para $ \mathbf{j} $:
j

Resposta

Então, $ u + 2v - 2w = 0 \mathbf{i} + 7 \mathbf{j} $, ou simplesmente $ 7 \mathbf{j} $.

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