Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
y=(sen x+cos x) sec x

Passo 1

Então, a gente tem a função $ y = (\sin x + \cos x) \sec x $ e precisa descobrir a derivada dela. Nosso objetivo aqui é calcular $ \frac{dy}{dx} $. Para fazer isso, vamos usar a regra do produto, que é uma técnica para derivar funções que são multiplicadas uma pela outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função: $ u = \sin x + \cos x $ e $ v = \sec x $. A regra do produto diz que a derivada de $ y = u \cdot v $ é $ y’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ $. Então, precisamos encontrar as derivadas de $ u $ e $ v $ separadamente.

Passo 3

Vamos calcular $ u’ $, a derivada de $ u = \sin x + \cos x $.
Sabemos que:
  • A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $.
  • A derivada de $ \cos x $ é $ -\sin x $.
Então,
u'

Passo 4

Agora, vamos calcular $ v’ $, a derivada de $ v = \sec x $.
Sabemos que:
v'
Então,
v = sec x

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
y' = u' cdot v + u cdot v'
Substituindo $ u’ $ e $ v’ $:
u'

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
  1. $ (\cos x - \sin x) \cdot \sec x = \cos x \cdot \sec x - \sin x \cdot \sec x $
    • Sabemos que $ \cos x \cdot \sec x = 1 $ (porque $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $)
    • E $ \sin x \cdot \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x $
    • Então, esse termo fica: $ 1 - \tan x $
  2. $ (\sin x + \cos x) \cdot \sec x \tan x = \sin x \cdot \sec x \tan x + \cos x \cdot \sec x \tan x $
    • $ \sin x \cdot \sec x \tan x = \tan x \cdot \tan x = \tan^2 x $
    • $ \cos x \cdot \sec x \tan x = 1 \cdot \tan x = \tan x $
    • Então, esse termo fica: $ \tan^2 x + \tan x $

Passo 7

Juntando tudo:
y' = (1 - tan x) + (tan^2 x + tan x) = 1 - tan x + tan^2 x + tan x
Os termos $ -\tan x $ e $ +\tan x $ se cancelam:
-tan x
E sabemos que:
+tan x

Resposta

A derivada da função é $ y’ = \sec^2 x $.

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