Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a derivada da função $ y(x) = \operatorname{cossec} , x - 4 \sqrt{x} + 1 $. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas como a cosecante e funções de potências como a raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa derivar uma função. Derivar é encontrar a taxa de variação dessa função em relação a $ x $. Ou seja, queremos saber como $ y(x) $ muda conforme $ x $ muda.
Passo 3
Vamos dividir a função em partes para facilitar:
- $ \operatorname{cossec} , x $
- $ -4 \sqrt{x} $
- $ +1 $
Vamos derivar cada parte separadamente.
Passo 4
Derivando $ \operatorname{cossec} , x $:
A derivada da cosecante é conhecida e é dada por:
Então, a derivada de $ \operatorname{cossec} , x $ é:
Passo 5
Derivando $ -4 \sqrt{x} $:
Primeiro, reescrevemos $ \sqrt{x} $ como $ x^{1/2} $. A regra de derivação para potências é:
Aplicando isso:
Passo 6
Derivando $ +1 $:
A derivada de uma constante é zero. Então:
Passo 7
Agora, juntando todas as partes derivadas:
Resposta
A derivada da função é: