Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
y(x)=cossec x-4 raizx+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a derivada da função $ y(x) = \operatorname{cossec} , x - 4 \sqrt{x} + 1 $. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas como a cosecante e funções de potências como a raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa derivar uma função. Derivar é encontrar a taxa de variação dessa função em relação a $ x $. Ou seja, queremos saber como $ y(x) $ muda conforme $ x $ muda.

Passo 3

Vamos dividir a função em partes para facilitar:
  1. $ \operatorname{cossec} , x $
  2. $ -4 \sqrt{x} $
  3. $ +1 $
Vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 4

Derivando $ \operatorname{cossec} , x $:
A derivada da cosecante é conhecida e é dada por:
cossec , x
Então, a derivada de $ \operatorname{cossec} , x $ é:
ddx ( cosec , x ) = -cosec , x cdot cot x

Passo 5

Derivando $ -4 \sqrt{x} $:
Primeiro, reescrevemos $ \sqrt{x} $ como $ x^{1/2} $. A regra de derivação para potências é:
-4 raizx
Aplicando isso:
raizx

Passo 6

Derivando $ +1 $:
A derivada de uma constante é zero. Então:
+1

Passo 7

Agora, juntando todas as partes derivadas:
y'(x) = -cosec , x cdot cot x - 2raizx + 0

Resposta

A derivada da função é:
y'(x) = -cosec , x cdot cot x - 2raizx

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