Calcular a derivada direcional de f em X0 na direção de un , quando:
c) f(x, y)=ln (x^2+y^2) ; X0=(1,1), u=(raiz2 / 2, raiz2 / 2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de f(x,y)=ln(x^2+y^2) no ponto X0=(1,1) na direção do vetor unitário vec u=(tfracraiz22,tfracraiz22). O conteúdo envolvido é derivada direcional, e vamos precisar usar o gradiente de f junto com o produto escalar com vec u.

Passo 2

Para encontrar o gradiente, lembramos que a derivada parcial em relação a x de f(x,y)=ln(x^2+y^2) é dada por
partial fpartial x=1x^2+y^2cdot 2x=2xx^2+y^2,
e de forma análoga para y:
partial fpartial y=2yx^2+y^2
Logo, o gradiente é
nabla f(x,y)=l(2xx^2+y^2,2yx^2+y^2r)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em X0=(1,1):
nabla f(1,1)=l(2cdot11^2+1^2,2cdot11^2+1^2r)=l(22,22r)=(1,1)

Passo 4

A derivada direcional na direção de vec u é o produto escalar de nabla f(1,1) por vec u:
Dvec uf(1,1)=nabla f(1,1)cdotvec u=(1,1)cdotl(tfracraiz22,tfracraiz22r)=1cdottfracraiz22+1cdottfracraiz22=raiz2

Resposta

raiz2

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