CEFET/RJ - Prova 1 - Cálculo a Várias Variáveis - Prof.: Rodrigo Peres
Nome do Aluno:
Observações: (i) Sua prova tem 4 questões divididas em duas folhas frente e verso; (ii) Serão aceitas apenas respostas com o desenvolvimento necessário; (iii) é proibido o uso de calculadora ou qualquer equipamento eletrônico; (iv) mantenha seu celular desligado.
Seja a função
Calcule
em todo o domínio de f .
Nome do Aluno:
Observações: (i) Sua prova tem 4 questões divididas em duas folhas frente e verso; (ii) Serão aceitas apenas respostas com o desenvolvimento necessário; (iii) é proibido o uso de calculadora ou qualquer equipamento eletrônico; (iv) mantenha seu celular desligado.
Seja a função
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $, em todo o domínio da função $ f(x, y) $. A função dada é dividida em duas partes: uma para todos os pontos
diferentes de
e outra especificamente para o ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação para funções de várias variáveis e tratar o caso especial do ponto
separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ para todos os pontos onde
. A função nesse caso é $ f(x, y) = \frac{x y}{x^{4} + y^{4}} $. Para derivar isso em relação a $ x $, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função $ \frac{u}{v} $, sua derivada é $ \frac{u’v - uv’}{v^{2}} $.
Passo 3
Identificando as partes:
- $ u = x y $ e, derivando em relação a $ x $, $ u’ = y $ (porque $ y $ é tratado como constante).
- $ v = x^{4} + y^{4} $ e, derivando em relação a $ x $, $ v’ = 4x^{3} $.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 6
Agora, precisamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ no ponto
. Para isso, usamos a definição da derivada parcial:
Sabemos que $ f(0, 0) = 0 $, então:
Substituindo na função:
Então:
Resposta
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é: