CEFET/RJ - Prova 1 - Cálculo a Várias Variáveis - Prof.: Rodrigo Peres
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Observações: (i) Sua prova tem 4 questões divididas em duas folhas frente e verso; (ii) Serão aceitas apenas respostas com o desenvolvimento necessário; (iii) é proibido o uso de calculadora ou qualquer equipamento eletrônico; (iv) mantenha seu celular desligado.
Seja a função
Calcule f(x, y)=clx yx^4+y^4 ; & (x, y) neq(0,0) 0 ; & (x, y)=(0,0) em todo o domínio de f .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $, em todo o domínio da função $ f(x, y) $. A função dada é dividida em duas partes: uma para todos os pontos f diferentes de x e outra especificamente para o ponto partial fpartial x . Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação para funções de várias variáveis e tratar o caso especial do ponto f(x, y) separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ para todos os pontos onde partial fpartial x . A função nesse caso é $ f(x, y) = \frac{x y}{x^{4} + y^{4}} $. Para derivar isso em relação a $ x $, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função $ \frac{u}{v} $, sua derivada é $ \frac{u’v - uv’}{v^{2}} $.

Passo 3

Identificando as partes:
  • $ u = x y $ e, derivando em relação a $ x $, $ u’ = y $ (porque $ y $ é tratado como constante).
  • $ v = x^{4} + y^{4} $ e, derivando em relação a $ x $, $ v’ = 4x^{3} $.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial x = u'v - u v'v^2 = y (x^4 + y^4) - x y (4x^3)(x^4 + y^4)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
y (x^4 + y^4) - 4x^4 y = y x^4 + y^5 - 4x^4 y = y^5 - 3x^4 y
Então, a derivada fica:
partial fpartial x = y^5 - 3x^4 y(x^4 + y^4)^2

Passo 6

Agora, precisamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ no ponto partial fpartial x . Para isso, usamos a definição da derivada parcial:
(0, 0)
Sabemos que $ f(0, 0) = 0 $, então:
partial fpartial x(0, 0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h
Substituindo na função:
f(0, 0) = 0
Então:
partial fpartial x(0, 0) = limh to 0 f(h, 0)h

Resposta

A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f

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