Calcular a derivada direcional de f em X0 na direção de u, quando:
f(x, y)=2 x^2-3 y^2 ; X0=(1,0), u=(-1 / 2, raiz3 / 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função $ f(x, y) = 2x^2 - 3y^2 $ no ponto $ X_0 = (1, 0) $ na direção do vetor $ \vec{u} = \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função $ f $ muda em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, precisamos:
  1. Encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
  2. Usar o vetor direção $ \vec{u} $, que deve ser um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1).

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais de $ f(x, y) = 2x^2 - 3y^2 $:
  • Derivada parcial em relação a $ x $:
    f(x, y) = 2x^2 - 3y^2
  • Derivada parcial em relação a $ y $:
    x

Passo 4

Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto $ X_0 = (1, 0) $:
  • $ f_x(1, 0) = 4 \times 1 = 4 $
  • $ f_y(1, 0) = -6 \times 0 = 0 $

Passo 5

O próximo passo é garantir que o vetor $ \vec{u} $ seja unitário. Vamos calcular o comprimento de $ \vec{u} = \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $:
u
Como o comprimento é 1, $ \vec{u} $ já é um vetor unitário.

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Duf(X0) = fx(X0) cdot ux + fy(X0) cdot uy
Substituindo os valores que encontramos:
Duf(1, 0) = 4 cdot (-12) + 0 cdot raiz32 = -2 + 0 = -2

Resposta

A derivada direcional de $ f $ em $ X_0 $ na direção de $ \vec{u} $ é -2.

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