Calcular a derivada direcional de
em
na direção de
, quando:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função $ f(x, y) = 2x^2 - 3y^2 $ no ponto $ X_0 = (1, 0) $ na direção do vetor $ \vec{u} = \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função $ f $ muda em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, precisamos:
- Encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
- Usar o vetor direção $ \vec{u} $, que deve ser um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1).
Passo 3
Vamos achar as derivadas parciais de $ f(x, y) = 2x^2 - 3y^2 $:
-
Derivada parcial em relação a $ x $:
-
Derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto $ X_0 = (1, 0) $:
- $ f_x(1, 0) = 4 \times 1 = 4 $
- $ f_y(1, 0) = -6 \times 0 = 0 $
Passo 5
O próximo passo é garantir que o vetor $ \vec{u} $ seja unitário. Vamos calcular o comprimento de $ \vec{u} = \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $:
Como o comprimento é 1, $ \vec{u} $ já é um vetor unitário.
Passo 6
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ em $ X_0 $ na direção de $ \vec{u} $ é -2.