Calcular a derivada direcional de f em X0 na direção de un , quando:
b) f(x, y, z)=2 x^3 y-3 y^2 z ; X0=(1,2,-1) c u=(2 / 7,-3 / 7 ; 6 / 7)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a derivada direcional de f(x,y,z)=2x^3y-3y^2z no ponto X0=(1,2,-1) na direção do vetor unitário vec u=(2/7,-3/7,6/7). Para isso vamos usar o gradiente de f e o produto escalar.

Passo 2

O gradiente de f é dado por nabla f=(fx,fy,fz). Calculando as derivadas parciais com regra do produto e da potência, obtemos: fx=6x^2y, fy=2x^3-6yz e fz=-3y^2.

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em X0=(1,2,-1):
fx(1,2,-1)=6cdot1^2cdot2=12,
fy(1,2,-1)=2cdot1^3-6cdot2cdot(-1)=2+12=14,
fz(1,2,-1)=-3cdot2^2=-12.
Logo nabla f(1,2,-1)=(12,14,-12).

Passo 4

Verificamos que vec u=(2/7,-3/7,6/7) é unitário, pois |vec u|=raiz(2/7)^2+(-3/7)^2+(6/7)^2=1. Podemos usar direto.

Passo 5

A derivada direcional é dada por Dvec uf(X0)=nabla f(1,2,-1)cdotvec u. Fazendo o produto escalar:

Resposta

-tfrac907

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