Resolva as integrais duplas:
.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla integral0^2 integralx^2 y^4sin(x y^2),dy,dx. O conteúdo envolve integração dupla e, para facilitar, vamos usar mudança de ordem de integração e reconhecimento de derivada em relação a x.

Passo 2

Primeiro vamos descrever a região de integração. No enunciado, x varia de 0 a 2 e, para cada x, y varia de x até 2. Isso desenha a região triangular em que 0<= x<= y<=2. Podemos trocar a ordem, fazendo y variar primeiro de 0 a 2 e x de 0 a y.

Passo 3

Reescrevendo a integral com a ordem invertida, temos
integral0^2integralx^2y^4sin(x y^2),dy,dx =integraly=0^2integralx=0^yy^4sin(x y^2),dx,dy

Passo 4

Agora focamos na integral interna integral0^yy^4sin(x y^2),dx. Repare que em relação a x, podemos ver
ddxl(-y^2cos(x y^2)r)=y^4sin(x y^2)
Logo um antiderivado em x é -y^2cos(x y^2).

Passo 5

Usando esse antiderivado, avaliamos de x=0 a x=y:
integral0^yy^4sin(x y^2),dx =l[-y^2cos(x y^2)r]0^y =y^2l(1-cos(y^3)r)

Passo 6

Restou então calcular
integral0^2y^2l(1-cos(y^3)r),dy =integral0^2y^2,dy-integral0^2y^2cos(y^3),dy

Passo 7

A primeira parte é direta:
integral0^2y^2,dy=y^33|0^2=83
Na segunda parte, fazemos u=y^3, du=3y^2dy, então
integral0^2y^2cos(y^3),dy=13integral0^8cos(u),du=13l[sin(u)r]0^8=sin(8)3

Passo 8

Juntando os resultados, a integral total fica
83-sin(8)3=8-sin(8)3

Resposta

8-sin(8)3

Exercícios relacionados