1. A funçĩo g: R^n R definida por g(X)=|X| ह diferenciàvel em todo ponto do seu dominio?

Passo 1

O enunciado apresenta a função g: R^n to R definida por g(X)=|X| e pergunta se ela é diferenciável em todo ponto do domínio. O conteúdo envolve definição de diferenciabilidade em R^n e cálculo de gradiente via regra da cadeia.

Passo 2

Para Xneq0, escrevemos g(X)=raizXcdot X e aplicamos a regra da cadeia. Definindo f(t)=raizt com t=Xcdot X, temos f'(t)=1/(2raizt). Logo
nabla g(X)=f'(Xcdot X),nabla(Xcdot X)=12|X|,2X=X|X|

Passo 3

Com esse gradiente, para Xneq0 e um incremento H, o resto da expansão de Taylor satisfaz
g(X+H)-g(X)-nabla g(X)cdot H=o(|H|),
mostrando que g é diferenciável em todo Xneq0.

Passo 4

No ponto X=0, examine a derivada direcional em direção unitária u:
Dg(0;u)=limtto0^+g(0+tu)-g(0)t=limtto0^+|tu|t=1

Passo 5

Se existisse um linear L(H)=nabla g(0)cdot H que aproximasse g em 0, teríamos L(u)=1 para todo u, o que é impossível pois L(u) varia com u. Portanto g não é diferenciável em 0.

Resposta

g é diferenciável em todos os pontos Xneq0, mas não é diferenciável em X=0.

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