- A funçĩo
definida por
ह diferenciàvel em todo ponto do seu dominio?
Passo 1
O enunciado apresenta a função
definida por
e pergunta se ela é diferenciável em todo ponto do domínio. O conteúdo envolve definição de diferenciabilidade em
e cálculo de gradiente via regra da cadeia.
Passo 2
Para
, escrevemos
e aplicamos a regra da cadeia. Definindo
com
, temos
. Logo
Passo 3
Com esse gradiente, para
e um incremento
, o resto da expansão de Taylor satisfaz
mostrando que
Passo 4
No ponto
, examine a derivada direcional em direção unitária
:
Passo 5
Se existisse um linear
que aproximasse
em
, teríamos
para todo
, o que é impossível pois
varia com
. Portanto
não é diferenciável em
.