Calcular a derivada direcional da função f(x, y, z)=sen x i+cos y j+2 k no ponto P(pi2, pi2, 2), na direção do vetor a=3 i-j+2 k.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função vetorial vec f(x,y,z)=sin x,vec i+cos y,vec j+2,vec k no ponto P(tfracpi2,tfracpi2,2) e na direção do vetor vec a=(3,-1,2). O conteúdo é derivada direcional de função vetorial, que se obtém normalizando o vetor de direção e projetando o Jacobiano de vec f sobre esse vetor.

Passo 2

Para achar o vetor unitário de direção, primeiro calculamos o módulo de vec a:
|vec a|=raiz3^2+(-1)^2+2^2=raiz14
Logo o vetor unitário é
vec u=1raiz14(3,-1,2)

Passo 3

A derivada direcional de uma função vetorial vec f=(f1,f2,f3) na direção vec u é o vetor cujas componentes são as derivadas direcionais de cada fi. Vamos achar os gradientes das componentes:
nabla f1=(cos x,0,0), nabla f2=(0,-sin y,0), nabla f3=(0,0,0)

Passo 4

Agora avaliamos os gradientes em P, lembrando que cos(tfracpi2)=0 e sin(tfracpi2)=1:
nabla f1(P)=(0,0,0), nabla f2(P)=(0,-1,0), nabla f3(P)=(0,0,0)

Passo 5

Cada componente da derivada direcional é o produto escalar nabla fi(P)cdotvec u. Assim:
Dvec uf1=0, Dvec uf2=(0,-1,0)cdot1raiz14(3,-1,2)=1raiz14, Dvec uf3=0
Portanto a derivada direcional vetorial é o vetor (0,tfrac1raiz14,0).

Resposta

(0,tfrac1raiz14,0)

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