Encontrar a derivada direcional em P dos campos vetoriais dados, na direção do vetor a=2 i-j+k.
c) f(x, y, z)=e^x+y i+e^x-y j+2 k ; P(1,1,0).

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada direcional do campo vetorial vec f(x,y,z)=e^x+y,vec i+e^x-y,vec j+2,vec k no ponto P=(1,1,0) na direção do vetor vec a=2,vec i-vec j+vec k. Vamos usar o conceito de derivada direcional de campo vetorial, que age componente a componente via produto escalar com o vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, normalizamos o vetor de direção vec a. Calculamos sua norma:

O vetor unitário é

Passo 3

A derivada direcional de vec f em direção vec u no ponto P é dada por
onde nDvec uvec f(P)=l(nabla f1(P)cdotvec u,;nabla f2(P)cdotvec u,;nabla f3(P)cdotvec ur),, f1=e^x+y e f2=e^x-y.
Calculamos os gradientes:
f3=2
nabla f1=(e^x+y,,e^x+y,,0)
nabla f2=(e^x-y,,-e^x-y,,0).
Em nabla f3=(0,0,0) temos
P=(1,1,0)
nabla f1(P)=(e^2,e^2,0)
nabla f2(P)=(1,-1,0).

Passo 4

Agora fazemos os produtos escalares:
nabla f1(P)cdotvec u=e^2l(tfrac2raiz6-tfrac1raiz6r)=tfrace^2raiz6.
nabla f2(P)cdotvec u=1cdottfrac2raiz6+(-1)cdot(-tfrac1raiz6)=tfrac3raiz6.
nabla f3(P)cdotvec u=0

Resposta

Dvec avec f(P)=l(tfrace^2raiz6,,tfrac3raiz6,,0r).

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