integral0^pi(2 cos (3 x)-5 sen(x / 2)) d x.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida integral0^pil(2cos(3x)-5sin(x/2)r),dx. O conteúdo envolve integração de funções trigonométricas, e vamos precisar das fórmulas:
integralcos(ax),dx=1asin(ax), integralsin(bx),dx=-1bcos(bx)

Passo 2

Usando a linearidade da integral, achamos a primitiva de cada termo:
Para 2cos(3x):
integral2cos(3x),dx=2cdot13sin(3x)=23sin(3x)
Para -5sin(x/2):
integral-5sinl(x/2r),dx=-5cdotl(-2r)cosl(x/2r)=10cosl(x/2r)

Passo 3

Somando, uma primitiva comum é
F(x)=23sin(3x)+10cosl(x/2r)
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^pil(2cos(3x)-5sin(x/2)r)dx=F(pi)-F(0)

Passo 4

Agora avaliamos nos limites:
F(pi)=23sin(3pi)+10cosl(tfracpi2r)=0+10cdot0=0,
F(0)=23sin(0)+10cos(0)=0+10cdot1=10
Portanto a integral vale
F(pi)-F(0)=0-10=-10

Resposta

-10

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