Encontrar a derivada direcional em P dos campos vetoriais dados, na direção do vetor a=2 i-j+k.
b) f(x, y, z)=(x+y) i+(x-y) j+z k ; P(0,0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional do campo vetorial f(x, y, z) = (x+y) i + (x - y) j + z k no ponto P(0,0,0), na direção do vetor a = 2 i - j + k. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada direcional de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a matriz Jacobiana do campo vetorial f. A matriz Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das componentes de f em relação às variáveis x, y, e z. Então, vamos derivar cada componente de f:
Jf = partial (x + y)partial x & partial (x + y)partial y & partial (x + y)partial z partial (x - y)partial x & partial (x - y)partial y & partial (x - y)partial z partial zpartial x & partial zpartial y & partial zpartial z

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
Jf = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1
Essa é a matriz Jacobiana de f em qualquer ponto, inclusive no ponto P(0,0,0).

Passo 4

Agora, precisamos normalizar o vetor direção a = 2 i - j + k. A normalização serve para que a direção do vetor seja mantida, mas seu tamanho seja 1, o que facilita os cálculos. A fórmula para normalizar um vetor a é:
a = a||a||
Primeiro, calculamos a norma de a:
||a|| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Então, o vetor normalizado a é:
a = 2 i - j + kraiz6 = ( 2raiz6 ) i - ( 1raiz6 ) j + ( 1raiz6 ) k

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional do campo vetorial f na direção de a no ponto P é dada pela multiplicação da matriz Jacobiana avaliada em P pelo vetor normalizado a:
Da f(P) = Jf(P) cdot a
Substituindo os valores:
Da f(P) = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 cdot 2raiz6 -1raiz6 1raiz6 = 1 cdot 2raiz6 + 1 cdot (-1raiz6) + 0 cdot 1raiz6 1 cdot 2raiz6 + (-1) cdot (-1raiz6) + 0 cdot 1raiz6 0 cdot 2raiz6 + 0 cdot (-1raiz6) + 1 cdot 1raiz6
Simplificando:
Da f(P) = 2raiz6 - 1raiz6 2raiz6 + 1raiz6 1raiz6 = 1raiz6 3raiz6 1raiz6

Resposta

A derivada direcional do campo vetorial f no ponto P(0,0,0) na direção do vetor a é:
Da f(P) = 1raiz6 i + 3raiz6 j + 1raiz6 k

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