Encontrar a derivada direcional em dos campos vetoriais dados, na direção do vetor .
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional do campo vetorial no ponto , na direção do vetor . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada direcional de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a matriz Jacobiana do campo vetorial . A matriz Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das componentes de em relação às variáveis , , e . Então, vamos derivar cada componente de :
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Jf = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1
Essa é a matriz Jacobiana de f em qualquer ponto, inclusive no ponto P(0,0,0).
Passo 4
Agora, precisamos normalizar o vetor direção a = 2 i - j + k. A normalização serve para que a direção do vetor seja mantida, mas seu tamanho seja 1, o que facilita os cálculos. A fórmula para normalizar um vetor a é:
a = 2 i - j + kraiz6 = ( 2raiz6 ) i - ( 1raiz6 ) j + ( 1raiz6 ) k
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional do campo vetorial f na direção de a no ponto P é dada pela multiplicação da matriz Jacobiana avaliada em P pelo vetor normalizado a: