Calcular a derivada.
f(t)=e^t / 2(t^2+5 t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=e^t/2l(t^2+5tr)
O conteúdo necessário é a regra do produto e a regra da cadeia para derivar a função exponencial composta.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de e^t/2. Pela regra da cadeia,
ddtl(e^t/2r) =12,e^t/2

Passo 3

Em seguida, derivamos o polinômio t^2+5t:
ddtl(t^2+5tr) =2t+5

Passo 4

Aplicando a regra do produto,
f'(t) =ddtl(e^t/2r),(t^2+5t) +e^t/2,ddtl(t^2+5tr)
Substituindo as derivadas parciais,
f'(t) =12,e^t/2(t^2+5t) +e^t/2(2t+5)

Passo 5

Fatorando e^t/2 e agrupando termos:
f'(t) =e^t/2l(tfrac12,t^2+tfrac52,t+2t+5r) =e^t/2l(tfrac12,t^2+tfrac92,t+5r)
Para deixar em forma mais compacta, fatoramos tfrac12:
f'(t) =e^t/22l(t^2+9t+10r)

Resposta

f'(t)=e^t/22l(t^2+9t+10r)

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