Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo envolvido é o teste da razão para séries de potências, que nos permite encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Identificamos o termo geral da série como
Para aplicar o teste da razão calculamos
Passo 3
Escrevendo
temos
Logo
Passo 4
Pelo teste da razão, a série converge se
L<1 , ou seja
Isto define o raio de convergência
R=tfrac12 e o intervalo aberto
(-1/2,1/2) .
Passo 5
Falta checar os extremos:
- Em
:x=1/2 eun = 4^n+1(1/2)^2nn+3 = 4n+3, diverge (comparação comsum 4/(n+3) ).sum 1/n - Em
: comox=-1/2 , ocorre o mesmo termox^2n = (1/2)^2n , logo também diverge.tfrac4n+3
Resposta
O intervalo de convergência é