Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
sumn=0^+infty 4^n+1 x^2 nn+3

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty4^n+1x^2nn+3
O conteúdo envolvido é o teste da razão para séries de potências, que nos permite encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
un = 4^n+1x^2nn+3
Para aplicar o teste da razão calculamos
L = limntoinfty|un+1un|

Passo 3

Escrevendo
un+1 = 4^n+2x^2(n+1)n+4,
temos
un+1un = 4^n+2x^2n+2n+4,n+34^n+1x^2n =4,n+3n+4;x^2
Logo
L = limntoinfty4,n+3n+4;|x|^2 = 4|x|^2

Passo 4

Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja
4|x|^2 < 1 Longrightarrow |x| < 12
Isto define o raio de convergência R=tfrac12 e o intervalo aberto (-1/2,1/2).

Passo 5

Falta checar os extremos:
  1. Em x=1/2: un = 4^n+1(1/2)^2nn+3 = 4n+3, e sum 4/(n+3) diverge (comparação com sum 1/n).
  2. Em x=-1/2: como x^2n = (1/2)^2n, ocorre o mesmo termo tfrac4n+3, logo também diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é
(-tfrac12,;tfrac12)

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