Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
sumn=1^+infty (x+5)^n-1n^2

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x0=-5:
sumn=1^infty(x+5)^n-1n^2
Queremos achar o intervalo de convergência usando o raio de convergência de séries de potências e, em seguida, testar os extremos com testes de séries numéricas (p-série e série alternada).

Passo 2

Para aplicar os testes, escrevemos a série em forma padrão. Fazendo m=n-1, obtemos
sumn=1^infty(x+5)^n-1n^2 =summ=0^infty(x+5)^m(m+1)^2
Aqui o coeficiente geral é am=1(m+1)^2 e o centro é -5.

Passo 3

Usamos o Teste da raiz para encontrar o raio de convergência R. Calculamos
limmtoinftyl|amr|^1/m =limmtoinftyl((m+1)^-2r)^1/m =limmtoinfty(m+1)^-2/m=1
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R=11=1

Passo 4

Portanto, a convergência absoluta ocorre para
|x+5|<1
Agora testamos os extremos:
Para x=-4 temos x+5=1 e a série vira
sumn=1^infty1n^2,
que é uma p-série com p=2>1 e, portanto, converge.

Passo 5

Para x=-6 temos x+5=-1 e a série vira
sumn=1^infty(-1)^n-1n^2
Como sum1/n^2 converge absolutamente, essa converge também (e até absolutamente).

Resposta

O intervalo de convergência é l[-6,,-4r].

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