Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em :
Queremos achar o intervalo de convergência usando o raio de convergência de séries de potências e, em seguida, testar os extremos com testes de séries numéricas (p-série e série alternada).
Passo 2
Para aplicar os testes, escrevemos a série em forma padrão. Fazendo , obtemos
Aqui o coeficiente geral é e o centro é .
Passo 3
Usamos o Teste da raiz para encontrar o raio de convergência . Calculamos
Logo
R=11=1
Passo 4
Portanto, a convergência absoluta ocorre para
|x+5|<1
Agora testamos os extremos:
Para x=-4 temos x+5=1 e a série vira
sumn=1^infty1n^2,
que é uma p-série com p=2>1 e, portanto, converge.
Passo 5
Para x=-6 temos x+5=-1 e a série vira
sumn=1^infty(-1)^n-1n^2
Como sum1/n^2 converge absolutamente, essa converge também (e até absolutamente).