Calcular a derivada de: f(x)=raiz[3](x^2-7 x^3)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=√[3]{(x²−7x³)⁴}. O conteúdo principal aqui é derivação de função composta, ou seja, usar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, convertemos o radical em potência com expoente fracionário. Assim temos:
f(x) = (x² - 7x³)^tfrac43 ²³

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia. Se f(x)=u(x)ⁿ, então
f'(x) = n⋅u(x)^n-1⋅u'(x)

Passo 4

Identificamos u(x)=x²−7x³ e calculamos sua derivada:
u'(x) = 2x - 21x² ²

Passo 5

Substituímos na fórmula da regra da cadeia e simplificamos:
f'(x) = 43,(x² - 7x³)^tfrac43-1 ,(2x - 21x²) ²³²
Como 4/3−1=1/3, obtemos:
f'(x) = 43,(x² - 7x³)^tfrac13,(2x - 21x²) ²³²
Para deixar mais enxuto, podemos fatorar x em (2x−21x²):
f'(x)=43,x,(2 - 21x),(x² - 7x³)^tfrac13 ²³

Resposta

\displaystyle f’(x)=\frac{4}{3},x,(2 - 21x),(x{2}-7x{3})^{\tfrac{1}{3}}

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