Dada a função g(x)=11+x^2, interprete geometricamente o significado de g^prime(2).

Passo 1

O enunciado pede para interpretar geometricamente o valor de g’(2), onde g(x)= 11+x^2. O conteúdo envolvido é cálculo de derivada e interpretação como coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de g no ponto x=2.

Passo 2

Para encontrar g’(x), usamos a regra do quociente ou reconhecemos que g(x)=(1+x2){-1} e aplicamos a regra da cadeia. Assim,
g'(x)= -1cdot(1+x^2)^-2cdot 2x = -2x(1+x^2)^2

Passo 3

Agora substituímos x=2 na expressão de g’(x):
g'(2)= -2cdot 2(1+2^2)^2 = -4(1+4)^2 = -425

Passo 4

Geometricamente, g’(2) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y=g(x) no ponto onde x=2, ou seja, indica que no ponto (2, g(2)) a curva desce com inclinação -4/25.

Resposta

g’(2) = -4/25, que é o coeficiente angular da reta tangente à curva y = 1/(1+x^2) no ponto x = 2, mostrando que ali a curva está decrescendo com inclinação de -4/25.

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