Calcular a derivada da função.

Passo 1

O enunciado pede pra derivar a função de variável complexa
f(z) = (z^2 - imath)^3,(imath z + 1)^2. Vamos usar as regras de derivação de produto e de cadeia, vindas do cálculo de funções polinomiais, tratando z como variável.

Passo 2

Definimos duas funções intermediárias para facilitar:
g(z) = z^2 - imath,
h(z) = imath z + 1
Assim f(z) = [g(z)]^3,[h(z)]^2.

Passo 3

Calculamos as derivadas de g e h usando derivada de monômio:
g'(z) = 2z,
h'(z) = imath

Passo 4

Aplicamos a regra do produto para u(z) = [g(z)]^3 e v(z) = [h(z)]^2:
f'(z) = u'(z)v(z) + u(z)v'(z)
Em que, pela regra da cadeia,
u'(z) = 3[g(z)]^2,g'(z) = 3(z^2-imath)^2cdot2z,
v'(z) = 2[h(z)],h'(z) = 2(imath z+1)cdotimath

Passo 5

Substituindo tudo em f'(z):
f'(z) = (z^2-imath)^3cdotl[2(imath z+1)cdotimathr] + (imath z+1)^2cdotl[3(z^2-imath)^2cdot2zr]

Passo 6

Podemos fatorar 2(z^2-imath)^2(imath z+1) para simplificar:
f'(z)=2(z^2-imath)^2(imath z+1)l[imath(z^2-imath)+3z(imath z+1)r]

Passo 7

Expandindo o colchete interno:
imath(z^2-imath)+3z(imath z+1)=i z^2+1+3i z^2+3z=4i z^2+3z+1
Logo,
f'(z)=2(z^2-imath)^2(imath z+1),(4i z^2+3z+1)

Resposta

f'(z)=2(z^2-imath)^2(imath z+1),(4imath z^2+3z+1).

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