Calcular a derivada da função.
f(z)=z-3 imathz+3 imath

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função complexa f(z)=z-3imathz+3imath. O conteúdo aqui é a derivada de quociente de funções (regra do quociente) em uma variável complexa, e vamos precisar lembrar que, se f(z)=u(z)v(z), então, definimos as funções u(z)=z-3imath e v(z)=z+3imath. Em seguida, calculamos suas derivadas: como u(z) e v(z) são lineares em z, temos u'(z)=1 e v'(z)=1.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente, que diz que
f'(z)=u'(z)cdot v(z)-u(z)cdot v'(z)[v(z)]^2

Passo 3

Substituindo u, v, u' e v' na fórmula, obtemos:
f'(z)=1cdot(z+3imath)-(z-3imath)cdot1(z+3imath)^2 = z+3imath - z +3imath(z+3imath)^2 = 6imath(z+3imath)^2

Resposta

f'(z)=6imath(z+3imath)^2

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