O valor de integral0^raiz3 6 x arctg x d x é:
Escolha uma opção:
2 pi-raiz3
2 raiz3 pi
4 pi-3 raiz3
4 raiz3 pi
3 pi-2 raiz3
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de 6x cdot arctan(x) de 0 até raiz3. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à técnica de integração por partes. Pra resolver, vamos precisar identificar partes da função que se encaixam na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função vai ser u e qual vai ser dv. Vamos escolher:
u = arctan(x) e dv = 6x , dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v.
Derivando u:
du = ddx arctan(x) , dx = 11 + x^2 , dx
Integrando dv:
v = integral 6x , dx = 3x^2

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral0^raiz3 6x arctan(x) , dx = [ arctan(x) cdot 3x^2 ]0^raiz3 - integral0^raiz3 3x^2 cdot 11 + x^2 , dx

Passo 5

Vamos calcular a expressão [ arctan(x) cdot 3x^2 ]0^raiz3:
Para x = raiz3:
arctan(raiz3) = pi3 e 3x^2 = 3(raiz3)^2 = 9
Então:
arctan(raiz3) cdot 3x^2 = pi3 cdot 9 = 3pi
Para x = 0:
arctan(0) = 0 e 3x^2 = 0
Então:
arctan(0) cdot 3x^2 = 0
Portanto, a expressão se torna:
3pi - 0 = 3pi

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral0^raiz3 3x^21 + x^2 , dx
Podemos simplificar a fração x^21 + x^2:
x^21 + x^2 = 1 - 11 + x^2
Então, a integral fica:
3 integral0^raiz3 (1 - 11 + x^2) , dx = 3 [ integral0^raiz3 1 , dx - integral0^raiz3 11 + x^2 , dx ]
Calculando cada parte:
integral0^raiz3 1 , dx = raiz3
integral0^raiz3 11 + x^2 , dx = arctan(x) |0^raiz3 = pi3 - 0 = pi3
Então:
3 ( raiz3 - pi3 ) = 3raiz3 - pi

Passo 7

Voltando à expressão inicial:
integral0^raiz3 6x arctan(x) , dx = 3pi - (3raiz3 - pi) = 3pi - 3raiz3 + pi = 4pi - 3raiz3

Resposta

A resposta final é 4 pi - 3 raiz3.

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