Calcular a derivada da função.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de uma função do tipo produto de fatores com expoentes negativos. O conteúdo aqui é derivada de funções compostas e regra do produto, além da regra da cadeia para potências. Vamos usar essas regras para encontrar f
'(z).
'(z).
Passo 2
Escrevemos f(z) como produto de dois fatores simples:
Temos u(z) = (z+2)^{−1} e v(z) = (z2+2z+2){−1}. Assim,
f(z) = u(z)·v(z).
Para derivar um produto usamos a regra: f
’ = u’·v + u·v’.
’ = u’·v + u·v’.
Passo 3
Derivando cada fator:
Para u(z) = (z+2)^{−1}, pela regra da cadeia e potência,
u’(z) = −1·(z+2)^{−2}·1 = −(z+2)^{−2}.
Para v(z) = (z2+2z+2){−1}, aplicamos também cadeia e potência:
v’(z) = −1·(z2+2z+2){−2}·(2z+2) = −(2z+2)(z2+2z+2){−2}.
Passo 4
Agora substituímos em f’(z) = u’·v + u·v’:
u’·v = [−(z+2){−2}]·[(z2+2z+2)^{−1}] = −(z+2){−2}(z2+2z+2)^{−1},
u·v’ = [(z+2){−1}]·[−(2z+2)(z2+2z+2)^{−2}] = −(2z+2)(z+2){−1}(z2+2z+2)^{−2}.
Somando,
f’(z) = −(z+2){−2}(z2+2z+2)^{−1} − (2z+2)(z+2){−1}(z2+2z+2)^{−2}.
Passo 5
Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador (z+2)2(z2+2z+2)^2. Fator comum −(z+2){−2}(z2+2z+2)^{−2} e agrupamos numeradores:
O numerador fica:
(z^2+2z+2) + (2z+2)(z+2).
Calculando essa soma:
(z^2+2z+2) + (2z+2)(z+2) = z^2+2z+2 + [2(z+1)(z+2)] = z^2+2z+2 + 2(z^2+3z+2)
= z^2+2z+2 + 2z^2+6z+4 = 3z^2+8z+6.
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f’(z) = −\frac{3z2+8z+6}{(z+2)2,(z2+2z+2)2}