Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar, no caso da função dada, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada
.
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo é verificar analiticidade via equações de Cauchy-Riemann e, em caso positivo, calcular
. Vamos precisar escrever
em termos de suas partes real
e imaginária
, obter
e
e aplicar as equações de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Escrevendo
, temos
Logo
e
.
e
Passo 3
As equações de Cauchy-Riemann são
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
.
Observamos que e
, ou seja, as equações de Cauchy-Riemann estão satisfeitas para todo
.
Observamos que
Passo 5
Como as equações de Cauchy-Riemann valem em todo o plano e as derivadas parciais são contínuas, concluímos que
é analítica em
.
Passo 6
Para calcular a derivada de
, usamos
Resposta
A função é analítica em todo o plano
e sua derivada é
.