Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar, no caso da função dada, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada f^prime(z).
f(z)=z^2

Passo 1

Temos a função f(z)=z^2. O conteúdo é verificar analiticidade via equações de Cauchy-Riemann e, em caso positivo, calcular f'(z). Vamos precisar escrever z em termos de suas partes real x e imaginária y, obter u(x,y) e v(x,y) e aplicar as equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos
f(z)=(x+iy)^2=x^2 - y^2 + i,2xy
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u(x,y)=x^2-y^2
e
v(x,y)=2xy.

Passo 3

As equações de Cauchy-Riemann são
partial upartial x=partial vpartial y e partial upartial y=-partial vpartial x

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
2x=2x.
Observamos que -2y=-2y e (x,y), ou seja, as equações de Cauchy-Riemann estão satisfeitas para todo .

Passo 5

Como as equações de Cauchy-Riemann valem em todo o plano e as derivadas parciais são contínuas, concluímos que f é analítica em C.

Passo 6

Para calcular a derivada de f, usamos
f'(z)=partial upartial x+i,partial vpartial x=2x + i,2y=2(x+iy)=2z

Resposta

A função é analítica em todo o plano C e sua derivada é f'(z)=2z.

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