Diferencie cada uma das seguintes funções:
f(x)=3 e^x+10 x^3 ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=3e^x+10x^3ln(x). O conteúdo principal envolve a regra da soma (linearidade da derivada), a derivada de e^x, a regra do produto e a derivada de ln(x).

Passo 2

Derivando o primeiro termo usando a linearidade e sabendo que ddxe^x=e^x, temos:
ddxl(3e^xr)=3cdot e^x

Passo 3

Para o segundo termo, aplicamos a regra do fator constante e em seguida a regra do produto em x^3ln(x). Definimos:
u(x)=x^3, v(x)=ln(x)
A regra do produto diz:
ddxl(u,vr)=u'v+uv'
Como u'(x)=3x^2 e v'(x)=1x, temos:
ddxl(x^3ln(x)r)=3x^2ln(x)+x^3cdot1x=3x^2ln(x)+x^2

Passo 4

Multiplicando por 10 (fator constante), a derivada do segundo termo fica:
10l(3x^2ln(x)+x^2r)=30x^2ln(x)+10x^2

Passo 5

Juntando os resultados dos dois termos, a derivada final é:
f'(x)=3e^x+30x^2ln(x)+10x^2

Resposta

f'(x)=3e^x+30x^2ln(x)+10x^2

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