(1,5 pontos) Se f(z)=(z+1)^2z, determine as funções reais u(x, y) e v(x, y) tais que f(z)= u(x, y)+i v(x, y).

Passo 1

Então, a gente tem a função complexa . Nosso objetivo aqui é encontrar as funções reais e que representam essa função, ou seja, escrever . Para isso, vamos usar a representação de um número complexo como , onde e são números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(z) = (z + 1)^2z = (x + iy + 1)^2x + iy na expressão de (x + 1 + iy)^2 = (x + 1)^2 + 2(x + 1)(iy) + (iy)^2 :
= (x^2 + 2x + 1) + i2y(x + 1) - y^2
Vamos expandir o numerador. Lembre-se que (x^2 + 2x + 1 - y^2) + i2y(x + 1) :
Simplificando:
Então, o numerador fica:

Passo 3

Agora, temos:
f(z) = (x^2 + 2x + 1 - y^2) + i2y(x + 1)x + iy
Para simplificar essa fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é f(z) = [(x^2 + 2x + 1 - y^2) + i2y(x + 1)](x - iy)(x + iy)(x - iy) :
Denominador = x^2 + y^2
No denominador, usamos a propriedade de números complexos que :

Passo 4

Agora, vamos expandir o numerador:
(x^2 + 2x + 1 - y^2)(x) + (x^2 + 2x + 1 - y^2)(-iy) + i2y(x + 1)(x) + i2y(x + 1)(-iy)
Simplificando cada termo:
= x(x^2 + 2x + 1 - y^2) - iy(x^2 + 2x + 1 - y^2) + i2yx + i2y - 2y^2(x + 1)
Agrupando as partes real e imaginária:
[ x(x^2 + 2x + 1 - y^2) - 2y^2(x + 1) ] + i[ -y(x^2 + 2x + 1 - y^2) + 2yx + 2y ]

Passo 5

Agora, dividimos cada parte pelo denominador u(x, y) = x(x^2 + 2x + 1 - y^2) - 2y^2(x + 1) x^2 + y^2 :
v(x, y) = -y(x^2 + 2x + 1 - y^2) + 2yx + 2y x^2 + y^2
Vamos simplificar essas expressões.

Passo 6

Simplificando u(x, y) = x^3 + 2x^2 + x - xy^2 - 2xy^2 - 2y^2 x^2 + y^2 = x^3 + 2x^2 + x - 3xy^2 - 2y^2 x^2 + y^2 :
v(x, y) = -x^2y - 2xy - y + 2xy + 2y x^2 + y^2 = -x^2y - y + 2y x^2 + y^2 = -x^2y + y x^2 + y^2
E simplificando v(x, y) = y(-x^2 + 1) x^2 + y^2 :
Podemos fatorar em :

Resposta

As funções reais são:
u(x, y) = x^3 + 2x^2 + x - 3xy^2 - 2y^2 x^2 + y^2
v(x, y) = y(1 - x^2) x^2 + y^2

Exercícios relacionados