(1,5 pontos) Se
, determine as funções reais
e
tais que
.
Passo 1
Então, a gente tem a função complexa
. Nosso objetivo aqui é encontrar as funções reais
e
que representam essa função, ou seja, escrever
. Para isso, vamos usar a representação de um número complexo como
, onde
e
são números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão de
:
Vamos expandir o numerador. Lembre-se que
:
Simplificando:
Então, o numerador fica:
Passo 3
Agora, temos:
Para simplificar essa fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é
:
No denominador, usamos a propriedade de números complexos que
:
Passo 4
Agora, vamos expandir o numerador:
Simplificando cada termo:
Agrupando as partes real e imaginária:
Passo 5
Agora, dividimos cada parte pelo denominador
:
Vamos simplificar essas expressões.
Passo 6
Simplificando
:
E simplificando
:
Podemos fatorar
em
:
Resposta
As funções reais são: