Calcular a derivada das funções abaixo empregando as regras de derivação.
f(x)=\frac{5 x+7}{2 x-2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\dfrac{5x+7}{2x-2}. Esse é um quociente de funções lineares, então vamos usar a regra do quociente, além de saber derivar funções do tipo ax+b.

Passo 2

Definimos
u(x)=5x+7, \quad v(x)=2x-2.
Suas derivadas são
u'(x)=5, \quad v'(x)=2.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.
Substituindo u, u', v e v',
f'(x) =\frac{5(2x-2)-(5x+7)\,2}{(2x-2)^2}.

Passo 4

Calcúlamos o numerador:
5(2x-2)-(5x+7)\,2 =10x-10-10x-14 =-24.
Assim,
f'(x)=\frac{-24}{(2x-2)^2}.
Como (2x-2)^2=4(x-1)^2, fica
f'(x)=-\frac{24}{4(x-1)^2} =-\frac{6}{(x-1)^2}.

Resposta

f'(x)=-\dfrac{6}{(x-1)^2}

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