Calcular a derivada das funções:
y=\frac{x}{1-x}

Passo 1

O enunciado dá a função y=\dfrac{x}{1-x} e pede para calcular a sua derivada em relação a x.
Informações relevantes: a função está escrita como uma fração cujo numerador é x e denominador é 1-x. O que precisamos entregar é y' (ou \dfrac{dy}{dx}).

Passo 2

Vamos escolher um método para derivar. Há duas formas naturais aqui: usar a regra do quociente direto ou primeiro reescrever a função de modo que possamos aplicar regra da potência e cadeia (que costuma ser mais direta). Vou usar a segunda porque evita memorizar a fórmula do quociente e deixa as contas bem simples na prova. (Se quiser, no final eu confirmo rapidamente com a regra do quociente.)

Passo 3

Reescrevendo a função para facilitar a diferenciação: transformar a fração numa soma de termos mais simples. Começo fazendo a operação algébrica
\frac{x}{1-x}=\frac{1-(1-x)}{1-x}=\frac{1}{1-x}-\frac{1-x}{1-x}=\frac{1}{1-x}-1.
Portanto podemos escrever
y=-1+\frac{1}{1-x}.

Passo 4

Agora derivamos termo a termo. Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então a derivada de -1 é 0. Resta derivar \dfrac{1}{1-x}. Primeiro reescrevo como potência:
\frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}.
Vou usar a regra da cadeia + regra da potência: se u(x) é uma função e n é um número, então
\frac{d}{dx} \big(u(x)^n\big)=n\,u(x)^{\,n-1}\,u'(x).
Aqui tomo u(x)=1-x e n=-1. Calculando u'(x)=\dfrac{d}{dx}(1-x)=-1. Aplicando a fórmula:
\frac{d}{dx}\big((1-x)^{-1}\big) = -1\cdot(1-x)^{-2}\cdot(-1).
Simplificando os sinais:
-1\cdot(-1) = 1,
portanto
\frac{d}{dx}\big((1-x)^{-1}\big)=(1-x)^{-2}=\frac{1}{(1-x)^2}.

Passo 5

Juntando tudo: a derivada de y=-1+\dfrac{1}{1-x} é
y' = 0 + \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}.

Passo 6

Checagem rápida usando a regra do quociente (opcional e só pra confirmar): se y=\dfrac{f}{g} então y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}. Tomando f=x e g=1-x,
y'=\frac{1\cdot(1-x)-x\cdot(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x+x}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2},
mesmo resultado — perfeito!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{(1-x)^2}

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