Calcular a derivada das funções:
y=\frac{x}{1-x}
y=\frac{x}{1-x}
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a sua derivada em relação a
.
Informações relevantes: a função está escrita como uma fração cujo numerador é e denominador é
. O que precisamos entregar é
(ou
).
Informações relevantes: a função está escrita como uma fração cujo numerador é
Passo 2
Vamos escolher um método para derivar. Há duas formas naturais aqui: usar a regra do quociente direto ou primeiro reescrever a função de modo que possamos aplicar regra da potência e cadeia (que costuma ser mais direta). Vou usar a segunda porque evita memorizar a fórmula do quociente e deixa as contas bem simples na prova. (Se quiser, no final eu confirmo rapidamente com a regra do quociente.)
Passo 3
Reescrevendo a função para facilitar a diferenciação: transformar a fração numa soma de termos mais simples. Começo fazendo a operação algébrica
Portanto podemos escrever
Passo 4
Agora derivamos termo a termo. Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então a derivada de
é
. Resta derivar
. Primeiro reescrevo como potência:
Vou usar a regra da cadeia + regra da potência: se
é uma função e
é um número, então
Aqui tomo
e
. Calculando
. Aplicando a fórmula:
Simplificando os sinais:
portanto
Passo 5
Juntando tudo: a derivada de
é
Passo 6
Checagem rápida usando a regra do quociente (opcional e só pra confirmar): se
então
. Tomando
e
,
mesmo resultado — perfeito!