Calcular a derivada das funções:
y=(2 x+1) \cdot e^{1-x}
y=(2 x+1) \cdot e^{1-x}
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
dada por
Informações fornecidas:
Pergunta a ser respondida: determinar
, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Observando a expressão, vemos que
é o produto de duas funções de
: uma parte polinomial
e uma parte exponencial
. Quando temos um produto de duas funções, aplicamos a regra do produto para derivar. Vou escrever a regra do produto e explicar direitinho.
Regra do produto (fórmula):
O que cada símbolo significa:
-
e são as duas funções que estamos multiplicando. -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a . - A fórmula diz: a derivada do produto é (derivada da primeira vezes a segunda) mais (a primeira vezes a derivada da segunda).
Além disso, para derivar
precisamos da regra da derivada da exponencial composta (cadeia). Vou escrever e explicar a regra da cadeia para esse caso.
Regra da cadeia para exponencial:
Aqui
é a função que está no expoente;
é sua derivada. No nosso problema,
.
Passo 3
Identificar
e
para aplicar a regra do produto:
Agora calculamos
e
separadamente.
Derivada de
:
Explicação rápida: a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Derivada de
usando a regra da cadeia. Primeiro identifique
. Então
Aplicando a regra da cadeia:
Explicação: a derivada de
é
vezes a derivada de
; aqui a derivada de
é
.
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Escrevendo de forma clara:
Passo 5
Agora vamos fatorar
, que é comum nos dois termos, para simplificar e deixar a resposta mais elegante e fácil de usar na prova:
Dentro dos parênteses, faça a subtração:
Portanto
Passo 6
Breve reforço didático com um exemplo extra (curto) para fixar:
- Exemplo da regra do produto: se
, então . - Exemplo da regra da cadeia em exponencial: se
, então .
Você consegue aplicar essas mesmas ideias passo a passo na prova: identificar as partes, derivar cada uma, aplicar produto e cadeia, e simplificar.