Calcular a derivada das funções:
y=(2 x+1) \cdot e^{1-x}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função y dada por
y = (2x+1)\cdot e^{1-x}.
Informações fornecidas:
\text{a função é }y=(2x+1)\cdot e^{1-x}.çãé
Pergunta a ser respondida: determinar y', ou seja, a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Observando a expressão, vemos que y é o produto de duas funções de x: uma parte polinomial (2x+1) e uma parte exponencial e^{1-x}. Quando temos um produto de duas funções, aplicamos a regra do produto para derivar. Vou escrever a regra do produto e explicar direitinho.
Regra do produto (fórmula):
\text{Se }y=u(x)\cdot v(x),\text{ então }y'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).ã
O que cada símbolo significa:
  • u(x) e v(x) são as duas funções que estamos multiplicando.
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
  • A fórmula diz: a derivada do produto é (derivada da primeira vezes a segunda) mais (a primeira vezes a derivada da segunda).
Além disso, para derivar v(x)=e^{1-x} precisamos da regra da derivada da exponencial composta (cadeia). Vou escrever e explicar a regra da cadeia para esse caso.
Regra da cadeia para exponencial:
\text{Se }v(x)=e^{u(x)},\text{ então }v'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).ã
Aqui u(x) é a função que está no expoente; u'(x) é sua derivada. No nosso problema, u(x)=1-x.

Passo 3

Identificar u(x) e v(x) para aplicar a regra do produto:
u(x)=2x+1,\qquad v(x)=e^{1-x}.
Agora calculamos u'(x) e v'(x) separadamente.
Derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x+1)=2.
Explicação rápida: a derivada de 2x é 2 e a derivada de 1 é 0.
Derivada de v(x) usando a regra da cadeia. Primeiro identifique u_{\text{expoente}}(x)=1-x. Então
\frac{d}{dx}(1-x)=-1.
Aplicando a regra da cadeia:
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{1-x}\big)=e^{1-x}\cdot(-1)=-e^{1-x}.
Explicação: a derivada de e^{u} é e^{u} vezes a derivada de u; aqui a derivada de 1-x é -1.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u'(x)=2, v(x)=e^{1-x}, u(x)=2x+1 e v'(x)=-e^{1-x}, obtemos
y' = 2\cdot e^{1-x} + (2x+1)\cdot\big(-e^{1-x}\big).
Escrevendo de forma clara:
y' = 2e^{1-x} - (2x+1)e^{1-x}.

Passo 5

Agora vamos fatorar e^{1-x}, que é comum nos dois termos, para simplificar e deixar a resposta mais elegante e fácil de usar na prova:
y' = e^{1-x}\big(2 - (2x+1)\big).
Dentro dos parênteses, faça a subtração:
2 - (2x+1) = 2 - 2x - 1 = 1 - 2x.
Portanto
y' = e^{1-x}\,(1-2x).

Passo 6

Breve reforço didático com um exemplo extra (curto) para fixar:
  • Exemplo da regra do produto: se z(x)=x^2\cdot e^{x}, então z'=2x\cdot e^{x} + x^2\cdot e^{x}=e^{x}(2x+x^2).
  • Exemplo da regra da cadeia em exponencial: se w(x)=e^{3x}, então w'=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}.
Você consegue aplicar essas mesmas ideias passo a passo na prova: identificar as partes, derivar cada uma, aplicar produto e cadeia, e simplificar.

Resposta

y'=(1-2x)\,e^{1-x}

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