Calcular a derivada das funções:
y=x^{2} \cdot \ln x
y=x^{2} \cdot \ln x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas importantes: a função é o produto de duas funções de : uma polinomial
e o logaritmo natural
. Como
só está definido para
, a derivada que vamos obter valerá para
.
Informações dadas importantes: a função é o produto de duas funções de
Passo 2
Vamos usar a regra do produto para derivar: se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
. Uma justificativa curta desta regra (valiosa para a prova): escrevendo o quociente de diferenças,
Tomando o limite quando
e usando que
e que os quocientes tendem a
e
, obtemos
.
Passo 3
Identificamos
e
. Precisamos das derivadas
e
.
Derivada de
(regra do poder ou demonstração por limite):
Logo
.
Derivada de
(justificação via função inversa): seja
, então
. Diferenciando
em relação a
dá
. Invertendo,
. Portanto
ou seja
.
Passo 4
Aplicando a regra do produto
com
e
:
Simplificando o segundo termo:
Portanto
Fatorando
para uma forma mais compacta:
Passo 5
Resumo final: a derivada foi obtida aplicando a regra do produto, usando
e
. A resposta está válida para
. Força aí — você já viu todos os passos que precisa para repetir isso na prova!