Calcular a derivada das funções:
y=x^{2} \cdot \ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \;y = x^{2}\cdot \ln x\;.
Informações dadas importantes: a função é o produto de duas funções de x: uma polinomial \;x^{2}\; e o logaritmo natural \;\ln x\;. Como \ln x só está definido para x>0, a derivada que vamos obter valerá para \;x>0\;.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto para derivar: se \;u(x)\; e \;v(x)\; são funções diferenciáveis, então
( u v )' = u'v + uv'.
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x e v'(x) é a derivada de v. Uma justificativa curta desta regra (valiosa para a prova): escrevendo o quociente de diferenças,
\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h} = \frac{u(x+h)-u(x)}{h}\,v(x+h) + u(x)\,\frac{v(x+h)-v(x)}{h}.
Tomando o limite quando h\to0 e usando que v(x+h)\to v(x) e que os quocientes tendem a u'(x) e v'(x), obtemos (uv)'=u'v+uv'.

Passo 3

Identificamos u(x)=x^{2} e v(x)=\ln x. Precisamos das derivadas u' e v'.
Derivada de \;x^{2}\; (regra do poder ou demonstração por limite):
\frac{d}{dx}x^{2}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^{2}}{h} =\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
Logo u'(x)=2x.
Derivada de \;\ln x\; (justificação via função inversa): seja y=\ln x, então x=e^{y}. Diferenciando x em relação a y \frac{dx}{dy}=e^{y}=x. Invertendo, \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}. Portanto
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\quad\text{para }x>0,
ou seja v'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto (uv)'=u'v+uv' com u=x^{2} e v=\ln x:
\frac{dy}{dx}=u'v+uv'=(2x)\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando o segundo termo:
x^{2}\cdot\frac{1}{x}=x.
Portanto
\frac{dy}{dx}=2x\ln x + x.
Fatorando x para uma forma mais compacta:
\frac{dy}{dx}=x\bigl(2\ln x + 1\bigr),\qquad x>0.

Passo 5

Resumo final: a derivada foi obtida aplicando a regra do produto, usando \frac{d}{dx}x^{2}=2x e \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}. A resposta está válida para x>0. Força aí — você já viu todos os passos que precisa para repetir isso na prova!

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=x\bigl(2\ln x+1\bigr),\;x>0

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